Двойные интегралы при решении курсовой работы Замена переменной в определенном интеграле Производная сложной функции Двойные интегралы в полярных координатах Интегрирование по частям Несобственные интегралы

Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Интегрирование гиперболических функций

Пример Вычислить .

Решение. Используем интегрирование по частям: . Пусть . Тогда . В результате находим интеграл

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Так как , то интеграл равен

Пример Найти интеграл .

Решение. По определению, . Подставляя это в интеграл, получаем

  Найти уравнение эволюты кривой, заданной уравнениями:

 

 

Уравнения эволюты:

Окончательно: - это уравнения окружности с центром в начале координат радиуса а. Исходная кривая получается своего рода разверткой окружности.

Ниже приведены графики исходной кривой и ее эволюты.

 

Пример

При интегрировании положим а также используем равенство где – постоянная.

Пример

При интегрировании положим , а также используем равенство где и – постоянные.

Используя свойство инвариантности и формулу получим

.

.

.

Используя формулу получим:

1) ,

2) ,

3) .

Используя формулу получим:

1) ,

2) ,

3) .

Исходя из формулы , получим:

ЗАДАНИЕ №6

Задача №6 – задача решения системы линейных уравнений методом Гаусса.

 Пусть задана система четырех линейных алгебраических уравнений с четырьмя неизвестными х1,х2,х3,х4 

  Требуется найти решение (х1,х2,х3,х4) этой системы.

 Перед решением системы исследуем её на совместность. По теореме Кронекера – Капелли для совместности системы необходимо и достаточно, чтобы ранг основной А и расширенной А1

матриц совпадали

r(A)=r(A1).

 Система будет определенной, если ранг совместной системы равен числу неизвестных n

r(A)=n=4

 Если , то первое уравнение системы заменяем на уравнение в котором аi1=1

 По методу Гаусса с помощью эквивалентных преобразований над строками расширенную матрицу А1 системы надо привести к матрице

В которой основная матрица А принимает треугольный вид , т.е. на главной диагонали матрицы А все элементы равны единице, ниже – нулю. На этом прямой ход метода Гаусса заканчивается.

  В процессе обратного хода из матрицы  находим значения неизвестных хi, начиная с последней x4=b45 и до первой x1=b15

 Одновременно с прямым ходом по методу Гаусса можно определить ранги r(A) и r(A1)

Пример 1. Пусть задана система

Решение: Так как а11=0, I и IV(см. выше) уравнения системы меняем местами и записываем расширенную матрицу полученной системы

  Выполняем последовательно следующие преобразования. В матрице каждый элемент I строки умножаем на (-2) и прибавляем к соответствующим элементам II строки; затем элементы I строки умножаем на (-1) и складываем с соответствующими элементами III строки. В результате получаем:

  В полученной матрице элементы III строки делим на 3 и затем элементы II строки умножаем на (-1) и складываем с элементами соответственно III и IV строк:

  Элементы III и IV строк нашей матрицы меняем местами; элементы III строки делим на (-1), затем умножаем на (3) и складываем с элементами IV строки

  В этой матрице элементы IV строки делим на (-4)

  Полученной матрице соответствует система:

  Из последнего уравнения системы х4=2; из III уравнения х3=2+х4=2+2=4; из II уравнения х2=18-2х4-2х3= из I уравнения x1=-6+2x2+x4=-6+2·6+2=8

  Итак, решение системы равно (х1,х2,х3,х4)=(8;6;4;2).

 Для избежания ошибок в решении студенту рекомендуется сделать проверку, подставив найденное решение (х1,х2,х3,х4) в каждое уравнение системы.

 Найдем ранги  и

  Таким образом, определитель матрицы  треугольного вида равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

 Поскольку отличный от нуля определитель квадратной матрицы  имеет размерность 4 х 4, то ранг матрицы  равен r(А)=4.

 В матрице вычеркиваем IV столбец и определяем ранг матрицы   в приведенном к треугольному виде:

  Отсюда r()= 4.

 Следовательно система совместна и определена.

6.1 Решите самостоятельно следующую систему.

Более подробно о решении систем уравнений методом Гаусса можно почитать в [1] гл.6 §7 , [2] §4. Найти подробные задачи можно в [3] гл.4 § 6 и § 7.

Геометрические приложения криволинейных интегралов