Двойные интегралы при решении курсовой работы Замена переменной в определенном интеграле Производная сложной функции Двойные интегралы в полярных координатах Интегрирование по частям Несобственные интегралы

Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Интегрирование гиперболических функций

Шесть основных гиперболических функций определяются следующим образом:

Наиболее важные формулы дифференцирования и интегрирования гиперболических функций имеют вид:
Приведем еще несколько полезных соотношений:

Если подынтегральное выражение содержит гиперболическую функцию, то такой интеграл можно свести к интегрированию рациональной функции с помощью подстановки .

Пример Вычислить интеграл . Решение. Сделаем подстановку u = 2 + 3sh x, du = 3ch xdx. Тогда . Следовательно, интеграл равен

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Поскольку , и, следовательно, , интеграл можно переписать в виде Делая замену u = ch x, du = sh xdx, получаем

Пример

Пример

Пример 1. Вычислим матрицу  обратную матрице .

Решение. Вычисляем определитель матрицы А

Следовательно, матрица А-1 существует.

Алгебраические дополнения элементов аji исходной матрицы вычисляем по столбцам матрицы А

      

      

      

Записываем их в строки матрицы А-1

Делаем проверку:

,

 

  ,

 

  В самом деле:   

Проверим наши вычисления по методу Жордана.

Составим расширенную матрицу

B = 

Первый столбец

Наша цель – чтобы первый столбец выглядел так , т.е. надо уничтожить тройку во второй строке. Для этого первую строку умножаем на 3 и вычитаем из второй

Второй столбец

Теперь надо, сделать второй столбец таким же, как второй столбец матрицы Е, т.е надо чтобы второй столбец был таким .

Для этого вторую строку умножим на 

.

Теперь надо уничтожить 2 в первой строке и 1 в третьей строке.

Умножаем вторую строку на 2 и вычитаем из первой. Результат записываем на место первой строки. Вторую строку оставляем на своем месте. Из третьей строки вычитаем вторую строку, результат записываем на место третьей строки.

.

Третий столбец

Третий столбец у единичной матрицы должен быть таким , то есть все три строки придется менять. Разделим третью строку на

.

Теперь уничтожим  в первой строке. Для этого третью строку умножим на  и вычтем из первой. Результат запишем на место первой строки.

Теперь в третьем столбце от столбца единичной матрицы отличается только элемент второй строки. Это . Чтобы на этом месте был ноль, добавим ко второй строке третью, умноженную на . Результат впишем на место второй строки.

.

Теперь сократим все дроби, где это возможно

.

Действительно, мы получили матрицу .

Решите самостоятельно следующие задачи:

5.1. Найдите обратную матрицу для матрицы

Подробнее о нахождении обратных матриц можно прочитать в [1] гл.4 [2], §15.

Геометрические приложения криволинейных интегралов