Кратные интегралы при решении задач контрольной работы Замена переменных в тройных интегралах Замена переменных в двойных интегралах Вычислить двойной интеграл Определенный интеграл Площадь криволинейной трапеции

Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Метод замены переменной

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Применяем подстановку . Тогда или . С использованием данной подстановки интеграл легко вычисляется:

Пример Найти интеграл .

Решение. Перепишем интеграл в виде Обозначая 2e = a (это не замена переменной - аргументом по-прежнему остается x), получаем табличный интеграл

Исследовать функцию и построить ее график.

Геометрические приложения поверхностных интегралов Тройные и двойные интегралы при решении задач

Находим область существования функции. Очевидно, что областью определения функции является область (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥).

В свою очередь, видно, что прямые х = 1, х = -1 являются вертикальными асимптотами кривой.

Областью значений данной функции является интервал (-¥; ¥).

Точками разрыва функции являются точки х = 1, х = -1.

Находим критические точки.

Найдем производную функции

 

Критические точки: x = 0; x = -; x = x = -1; x = 1.

 

Найдем вторую производную функции

.

  Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.

Пример. Дана функция  и две точки  и . Найти градиент функции  в точке  и производную в точке  в направлении вектора .

Решение. Вычислим частные производные в точке  :

;

.

Значит,  .

Найдем направляющие косинусы:

;

.

Вычисляем по формуле производную в заданном направлении:

.

Ответ: .

Геометрические приложения поверхностных интегралов