Кратные интегралы при решении задач контрольной работы Замена переменных в тройных интегралах Замена переменных в двойных интегралах Вычислить двойной интеграл Определенный интеграл Площадь криволинейной трапеции

Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Вычисление объемов с помощью тройных интегралов

Объем тела U в декартовых координатах Oxyz выражается формулой

В цилиндрических координатах объем тела равен В сферических координатах, соответственно, используется формула

Пример Найти объем конуса высотой H и радиусом основания R (рисунок 2). Математика решение задач Дифференциальные уравнения

Решение.

Рис.1

Конус ограничен поверхностью и плоскостью z = H (рисунок 1). В декартовых координатах его объем выражается формулой Вычислим этот интеграл в цилиндрических координатах, которые изменяются в пределах Получаем (не забудем включить в интеграл якобиан ρ): Находим объем конуса: Интегральный признак Коши Тройные и двойные интегралы при решении задач

Интеграл вида функция R четная относительно sinx и cosx.

 

  Для преобразования функции R в рациональную используется подстановка

t = tgx.

Тогда

Операционное исчисление (преобразование Лапласа)

В  операционном исчислении функции  действительной переменной  ставится в соответствие функция   комплексной переменной .

Функция   называется оригиналом,  – изображением, что обоз-начают

  или .

Соответствие, определяемое формулой

,

называется преобразованием Лапласа.

Рассмотрим некоторые свойства преобразования Лапласа.

1) Линейность:

,

.

Постоянный множитель  сохраняется при нахождении изображения.

Изображение суммы равно сумме изображений.

2) Теорема смещения:

.

При умножении оригинала на показательную функцию  в изображении надо из аргумента   вычесть число .

3) Дифференцирование изображения:

.

При умножении оригинала f ( t ) на  надо изображение  продиффе-ренцировать и производную умножить на (-1).

4) Изображение производных:

,

,

.

Таблица изображений

 ,

 ,

 ,

 ,

 ,

 ,

 ,

 ,

 .

Здесь  , гиперболические функции

.

 

Геометрические приложения поверхностных интегралов