Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Метод замены переменной Рассмотрим неопределенный интеграл F(x) некоторой функции f(x). Для упрощения вычисления интеграла часто удобно выполнить замену переменной

Вычислить интеграл . Тройные и двойные интегралы при решении задач Вычисление объемов

Вычислить интеграл .

Замена переменных в двойных интегралах

Для вычисления двойного интеграла иногда удобнее перейти в другую систему координат. Это может быть обусловлено формой области интегрирования или сложностью подынтегральной функции. В новой системе координат вычисление двойного интеграла значительно упрощается.

Вычислить двойной интеграл , в котором область определения R ограничена прямыми .

Вычислить двойной интеграл , в котором область интегрирования R ограничена прямыми линиями .

Вычислить интеграл , где область R ограничена параболами и гиперболами .

Вычислить интеграл , где область R ограничена прямыми .

Замена переменных в тройных интегралах

При вычислении тройного интеграла, как и двойного, часто удобно сделать замену переменных. Это позволяет упростить вид области интегрирования или подынтегральное выражение. Пусть исходный тройной интеграл задан в декартовых координатах x, y, z в области U:

Найти объем области U, заданной неравенствами

Найти объем наклонного параллелепипеда, заданного неравенствами

Вычисление объемов с помощью тройных интегралов

Пример Найти объем шара x2 + y2 + z2 ≤ R2.

Найти объем тетраэдра, ограниченного плоскостями, проходящими через точки A (1;0;0), B (0;2;0), C (0;0;3), и координатными плоскостями Oxy, Oxz, Oyz

Найти объем тетраэдра, ограниченного плоскостями x + y + z = 5, x = 0, y = 0, z = 0

Найти объем области, ограниченной двумя параболоидами:

Вычислить объем эллипсоида Вычислить интеграл, перейдя от прямоугольных координат к полярным.

Найти объем тела, ограниченного сферой x2 + y2 + z2 = 6 и параболоидом x2 + y2 = z.

Вычислить объем тела, ограниченного параболоидом z = 2 − x2 − y2 и конической поверхностью . [an error occurred while processing this directive]

Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b]. Определенный интеграл от функции f (x) в пределах от a до b вводится как предел суммы бесконечно большого числа слагаемых, каждое из которых стремится к нулю

Площадь криволинейной трапеции

Площадь фигуры, ограниченной осью 0x, двумя вертикальными прямыми x = a, x = b и графиком функции f (x) (рисунок 1), определяется по формуле

Замена переменной в определенном интеграле

Вычислить интеграл .

Вычислить интеграл .

Найти площадь фигуры, ограниченную графиками функций и .

Вычислить площадь эллипса .

Определение двойного интеграла

Понятие интеграла может быть расширено на функции двух и большего числа переменных. Рассмотрим, например, функцию двух переменных z = f (x,y).

Свойства двойного интеграла

Определение тройного интеграла Формально определение тройного интеграла можно ввести аналогично двойному интегралу как предел суммы Римана

Оценить максимальное значение тройного интеграла

Пример 1. Найти производные следующих функции:

а) , б) , в)

Решение: а) . Наша функция является суммой двух функций. Воспользуемся свойством производной суммы

Константу  вынесем за знак производной и получим две производные сложных функций:

Поскольку внешняя функция в первом слагаемом – степенная, а во втором – натуральный логарифм, то для ,  и ,  по формуле дифференцирования сложной функции получим:

б) . Здесь мы воспользуемся свойством производной произведения двух функций , где  - есть производная сложной функции, внешняя функция которой показательная, а внутренняя – степенная.

в) , . Производную функции, заданной параметрически, находим, учитывая, что ,  - сложные функции.

Подробно о производных можно прочесть в [1] гл.9, [4] гл.3 и найти задачи можно в [3] гл.7 §1.

Решите следующие задачи самостоятельно.

Найдите производные следующих функций.

12.1  

12.2 

12.3 

12.4 

12.5  

ЗАДАНИЕ №13

Найти пределы функции, применяя правило Лопиталя.

Для раскрытия неопределённостей вида или  используется правило Лопиталя:

Пусть   и  две дифференцируемые на некотором интервале функции, причем , и пусть при  (или ), обе эти функции стремятся к нулю (или ). Тогда, если  при данном стремлении x существует, то существует и

.

Пример 1.  Найти предел

Решение: При  имеем неопределённость . Функции , , дифференцируемы в некоторой окрестности точки , причем . Если , то по правилу Лопиталя получим:

Ответ:

Если отношение производных опять представляет собой неопределенность, вида   или , то можно снова применить правило Лопиталя, т.е. перейти к отношению вторых производных и т.д.

Пример 2. Найти предел .

Решение: При  получается неопределенность вида . Выполняя преобразования, указанную неопределённость приведем к виду

Теперь при  и числитель, и знаменатель стремятся к нулю. Применяем правило Лопиталя

Ответ:

Встречаются также неопределенности типа . Они раскрываются аналогично предыдущему случаю, то есть приводятся к виду

Пример 3. Найти предел .

Решение : Здесь ,  при . Следовательно имеем неопределенность . Приводим эту последовательность к виду  и получаем

где буква Л над знаком равенства означает применение правила Лопиталя.

Ответ:

Подробнее о вычислении пределов по правилу Лопиталя можно прочесть в [1] гл.4 §2, 4, 5 и найти соответствующие задачи в [3].

Следующие задачи решите самостоятельно:

Вычислить

 

 

ЗАДАНИЕ №14

Следующая задача посвящена исследованию графика функции методами дифференциального исчисления.

Подробно об этом можно прочесть в [1], гл.11, [4] гл.5.

Методами дифференциального исчисления исследовать функцию  для  и по результатам исследования построить ее график.

Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке[a;b].

Для исследования функции используется общая схема исследования функции.

Найти область допустимых значений (ОДЗ) аргумента функции .

Найти точки пересечения функции  с осями координат Оx и Oy.

Найти точки разрыва и определить тип.

Установить, является ли функция  четной, нечетной и периодической.

Найти асимптоты графика функции .

Найти , определить точки экстремумов  и интервалы возрастания >0) и убывания<0) графика функции .

Найти , определить точки перегиба (=0) и интервалы выпуклости (<0) и вогнутости (>0) графика функции .

По результатам исследования построить график функции .

План нахождения наибольшего и наименьшего значений функции  на отрезке [a,b].

Найти критические точки функции  =0 или не существует).

В каждой критической точке определить знак производной  слева и справа. Если  меняет знак при переходе через критическую точку, то в данной точке функция  имеет локальный экстремум, иначе эта точка не является точкой экстремума.

Вычислить значения функции  в точках экстремума и при x=a, x=b.

Среди этих значений найти наибольшее и наименьшее значения функции   на отрезке [a,b].

Пример 1. Пусть .

Решение:

Функция  определена и непрерывна в интервале 0<x<+∞, т.к. область допустимых значений для функции y=lnx:

В точке  график  пересекает ось Ox. С осью Oy график функции  не пересекается.

В граничной точке x=0 области допустимых значений функция  имеет бесконечный разрыв II рода, потому что

.

Функция  является четной, нечетной или периодической, если выполняется одно из равенств , , , где T>0 –период.

Заданная функция не является четной или нечетной, т.к. для x<0 она не определена.

Находим

Следовательно,  является функцией общего вида.

Так как в точке x=0  имеет бесконечный разрыв, то прямая x=0 (ось Oy) является вертикальной асимптотой.

Ищем наклонные асимптоты .

Поэтому  (ось Ox) есть горизонтальная асимптота (y=0)

Находим  и критические точки:

   1-lnx=0. lnx=1. x=e.

Исследуем знак производной в каждом из интервалов (O,e) и (e,∞), на которые критическая точка разбивает область определения функции.

Возьмем точку в (O,e), например, >0; возьмем точку в (e,∞), например,  <0.

Составим таблицу

(0,e)

e≈2.72

(e,+∞)

+

0

-

Возрастает

Убывает

Находим вторую производную , , , , .

Определяем знак второй производной на интервалах . Возьмем в интервале точку <0. Возьмем в интервале точку >0.

Составим таблицу

-

0

+

График

Выпуклый

Вогнутый

Точка перегиба имеет координаты .

На основании полученных данных строим график. По оси Ox удобно взять масштаб, равный 1, а по оси Oy, равный 0.1.

На отрезке [1; 5] функция имеет локальный максимум в точке , равный . Вычисляем значения функции  в точке x=1 и x=5: y(1)=0, .

Следовательно, на отрезке [1; 5] .

Решите самостоятельно следующие задачи:

14.1. Определите интервалы возрастания и убывания функции .

14.2. Найти экстремум функции  и определить ее наибольшее и наименьшее значение на отрезке [-2,4].

14.3. Найти асимптоты графика функции .

14.4. Найти асимптоты кривой .

14.5. Исследовать функцию .