Кратные интегралы при решении задач контрольной работы

Лекции
Физика

Контрольная

На главную
Электротехника

Метод замены переменной Рассмотрим неопределенный интеграл F(x) некоторой функции f(x). Для упрощения вычисления интеграла часто удобно выполнить замену переменной

Вычислить интеграл . Тройные и двойные интегралы при решении задач Вычисление объемов

Вычислить интеграл .

Замена переменных в двойных интегралах

Для вычисления двойного интеграла иногда удобнее перейти в другую систему координат. Это может быть обусловлено формой области интегрирования или сложностью подынтегральной функции. В новой системе координат вычисление двойного интеграла значительно упрощается.

Вычислить двойной интеграл , в котором область определения R ограничена прямыми .

Вычислить двойной интеграл , в котором область интегрирования R ограничена прямыми линиями .

Вычислить интеграл , где область R ограничена параболами и гиперболами .

Вычислить интеграл , где область R ограничена прямыми .

Замена переменных в тройных интегралах

При вычислении тройного интеграла, как и двойного, часто удобно сделать замену переменных. Это позволяет упростить вид области интегрирования или подынтегральное выражение. Пусть исходный тройной интеграл задан в декартовых координатах x, y, z в области U:

Найти объем области U, заданной неравенствами

Найти объем наклонного параллелепипеда, заданного неравенствами

Вычисление объемов с помощью тройных интегралов

Пример Найти объем шара x2 + y2 + z2 ≤ R2.

Найти объем тетраэдра, ограниченного плоскостями, проходящими через точки A (1;0;0), B (0;2;0), C (0;0;3), и координатными плоскостями Oxy, Oxz, Oyz

Найти объем тетраэдра, ограниченного плоскостями x + y + z = 5, x = 0, y = 0, z = 0

Найти объем области, ограниченной двумя параболоидами:

Вычислить объем эллипсоида Вычислить интеграл, перейдя от прямоугольных координат к полярным.

Найти объем тела, ограниченного сферой x2 + y2 + z2 = 6 и параболоидом x2 + y2 = z.

Вычислить объем тела, ограниченного параболоидом z = 2 − x2 − y2 и конической поверхностью . [an error occurred while processing this directive]

Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b]. Определенный интеграл от функции f (x) в пределах от a до b вводится как предел суммы бесконечно большого числа слагаемых, каждое из которых стремится к нулю

Площадь криволинейной трапеции

Площадь фигуры, ограниченной осью 0x, двумя вертикальными прямыми x = a, x = b и графиком функции f (x) (рисунок 1), определяется по формуле

Замена переменной в определенном интеграле

Вычислить интеграл .

Вычислить интеграл .

Найти площадь фигуры, ограниченную графиками функций и .

Вычислить площадь эллипса .

Определение двойного интеграла

Понятие интеграла может быть расширено на функции двух и большего числа переменных. Рассмотрим, например, функцию двух переменных z = f (x,y).

Свойства двойного интеграла

Определение тройного интеграла Формально определение тройного интеграла можно ввести аналогично двойному интегралу как предел суммы Римана

Оценить максимальное значение тройного интеграла

Пример 1. Найти производные следующих функции:

а) , б) , в)

Решение: а) . Наша функция является суммой двух функций. Воспользуемся свойством производной суммы

Константу  вынесем за знак производной и получим две производные сложных функций:

Поскольку внешняя функция в первом слагаемом – степенная, а во втором – натуральный логарифм, то для ,  и ,  по формуле дифференцирования сложной функции получим:

б) . Здесь мы воспользуемся свойством производной произведения двух функций , где  - есть производная сложной функции, внешняя функция которой показательная, а внутренняя – степенная.

в) , . Производную функции, заданной параметрически, находим, учитывая, что ,  - сложные функции.

Подробно о производных можно прочесть в [1] гл.9, [4] гл.3 и найти задачи можно в [3] гл.7 §1.

Решите следующие задачи самостоятельно.

Найдите производные следующих функций.

12.1  

12.2 

12.3 

12.4 

12.5  

ЗАДАНИЕ №13

Найти пределы функции, применяя правило Лопиталя.

Для раскрытия неопределённостей вида или  используется правило Лопиталя:

Пусть  и   две дифференцируемые на некотором интервале функции, причем , и пусть при  (или ), обе эти функции стремятся к нулю (или ). Тогда, если  при данном стремлении x существует, то существует и

.

Пример 1. Найти предел

Решение: При  имеем неопределённость . Функции , , дифференцируемы в некоторой окрестности точки , причем . Если , то по правилу Лопиталя получим:

Ответ:

Если отношение производных опять представляет собой неопределенность, вида  или , то можно снова применить правило Лопиталя, т.е. перейти к отношению вторых производных и т.д.

Пример 2. Найти предел .

Решение: При  получается неопределенность вида . Выполняя преобразования, указанную неопределённость приведем к виду

Теперь при  и числитель, и знаменатель стремятся к нулю. Применяем правило Лопиталя

Ответ:

Встречаются также неопределенности типа . Они раскрываются аналогично предыдущему случаю, то есть приводятся к виду

Пример 3. Найти предел .

Решение : Здесь ,  при . Следовательно имеем неопределенность . Приводим эту последовательность к виду  и получаем

где буква Л над знаком равенства означает применение правила Лопиталя.

Ответ:

Подробнее о вычислении пределов по правилу Лопиталя можно прочесть в [1] гл.4 §2, 4, 5 и найти соответствующие задачи в [3].

Следующие задачи решите самостоятельно:

Вычислить

 

 

ЗАДАНИЕ №14

Следующая задача посвящена исследованию графика функции методами дифференциального исчисления.

Подробно об этом можно прочесть в [1], гл.11, [4] гл.5.

Методами дифференциального исчисления исследовать функцию  для  и по результатам исследования построить ее график.

Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке[a;b].

Для исследования функции используется общая схема исследования функции.

Найти область допустимых значений (ОДЗ) аргумента функции .

Найти точки пересечения функции  с осями координат Оx и Oy.

Найти точки разрыва и определить тип.

Установить, является ли функция  четной, нечетной и периодической.

Найти асимптоты графика функции .

Найти , определить точки экстремумов  и интервалы возрастания >0) и убывания<0) графика функции .

Найти , определить точки перегиба (=0) и интервалы выпуклости (<0) и вогнутости (>0) графика функции .

По результатам исследования построить график функции .

План нахождения наибольшего и наименьшего значений функции  на отрезке [a,b].

Найти критические точки функции  =0 или не существует).

В каждой критической точке определить знак производной  слева и справа. Если  меняет знак при переходе через критическую точку, то в данной точке функция  имеет локальный экстремум, иначе эта точка не является точкой экстремума.

Вычислить значения функции  в точках экстремума и при x=a, x=b.

Среди этих значений найти наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке [a,b].

Пример 1. Пусть .

Решение:

Функция  определена и непрерывна в интервале 0<x<+∞, т.к. область допустимых значений для функции y=lnx:

В точке  график  пересекает ось Ox. С осью Oy график функции  не пересекается.

В граничной точке x=0 области допустимых значений функция  имеет бесконечный разрыв II рода, потому что

.

Функция  является четной, нечетной или периодической, если выполняется одно из равенств , , , где T>0 –период.

Заданная функция не является четной или нечетной, т.к. для x<0 она не определена.

Находим

Следовательно,  является функцией общего вида.

Так как в точке x=0  имеет бесконечный разрыв, то прямая x=0 (ось Oy) является вертикальной асимптотой.

Ищем наклонные асимптоты .

Поэтому  (ось Ox) есть горизонтальная асимптота (y=0)

Находим  и критические точки:

  1-lnx=0. lnx=1. x=e.

Исследуем знак производной в каждом из интервалов (O,e) и (e,∞), на которые критическая точка разбивает область определения функции.

Возьмем точку в (O,e), например, >0; возьмем точку в (e,∞), например,  <0.

Составим таблицу

(0,e)

e≈2.72

(e,+∞)

+

0

-

Возрастает

Убывает

Находим вторую производную , , , , .

Определяем знак второй производной на интервалах . Возьмем в интервале точку <0. Возьмем в интервале точку >0.

Составим таблицу

-

0

+

График

Выпуклый

Вогнутый

Точка перегиба имеет координаты .

На основании полученных данных строим график. По оси Ox удобно взять масштаб, равный 1, а по оси Oy, равный 0.1.

На отрезке [1; 5] функция имеет локальный максимум в точке , равный . Вычисляем значения функции  в точке x=1 и x=5: y(1)=0, .

Следовательно, на отрезке [1; 5] .

Решите самостоятельно следующие задачи:

14.1. Определите интервалы возрастания и убывания функции .

14.2. Найти экстремум функции  и определить ее наибольшее и наименьшее значение на отрезке [-2,4].

14.3. Найти асимптоты графика функции .

14.4. Найти асимптоты кривой .

14.5. Исследовать функцию .

 

Ядерные реакторы

Сети