Записать двойной интеграл Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода Обыкновенные дифференциальные уравнения Вычисление площадей плоских фигур Тройной интеграл Вычислить объем тела Замена переменных в тройном интеграле

Пример. Найти частные производные функции .

Решение. Считая, что  – независимая переменная, , находим:

.

Считая, что  – независимая переменная, а , находим:

Полным приращением функции  называется разность

.

Главная часть полного приращения функции , линейно зависящая от приращений независимых переменных  и , называется полным дифференциалом и обозначается . Если функция имеет непрерывные частные производные, то

 ,

где  – приращения независимых переменных, называемые их дифференциалами. С точностью до бесконечно малых величин высшего порядка относительно  и  верно равенство . Последнее применяется для нахождения приближенного значения функции в точке:

 .

Функция  , где , называется сложной функцией переменных . Для нахождения частных производных сложных функций используются следующие формулы:

 .

Пример. Найти частные производные функции , где .

Решение.

,

.

Если уравнение  задает неявно некоторую функцию двух переменных   и , то

 .

Пример. Найти частные производные функции , заданной неявно уравнением .

Решение. Запишем функцию в виде: .

 .

Частными производными второго порядка называются частные производные, взятые от частных производных первого порядка:

,

  , .

Частные производные   и  называются смешанными. Значения смешанных производных в точках, в которых они непрерывны, равны между собой.


Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле