Записать двойной интеграл Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода Обыкновенные дифференциальные уравнения Вычисление площадей плоских фигур Тройной интеграл Вычислить объем тела Замена переменных в тройном интеграле

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

РЕШЕНИЕ. Построив данные полукубические параболы   получим криволинейный четырехугольник ОАВС на рис.2.3,  О(0;0), В(6;0), С(4;8)

 y

 8 C

 B

 0 6 x 

 

 А 

 Рис.2.3. Графики функций 

Вследствие симметричности фигуры относительно оси Ох, ее площадь S равна удвоенной площади фигуры D - криволинейного треугольника ОВС:

2.4. ЗАДАЧИ 4-5

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями  .Найти координаты центра масс тела, предполагая, что оно однородно.

РЕШЕНИЕ. Данное тело ограничено снизу параболоидом , сверху плоскостью z=h и проектируется в круг  плоскости XOY.

 z

 y

 х Рис.2.4. Область интегрирования

Используем цилиндрические координаты:

 

в которых уравнение параболоида будет

   т.е. .

Объем тела равен

Координаты центра масс тела вычисляются по формулам

  где

 

 

 

 

где   - плотность тела в точке (х,y,z). Для однородного тела можно положить

Находим:

 

 

 

 

Таким образом

 


Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле