Записать двойной интеграл Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода Обыкновенные дифференциальные уравнения Вычисление площадей плоских фигур Тройной интеграл Вычислить объем тела Замена переменных в тройном интеграле

Кратные интегралы

ОБРАЗЦЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ

ЗАДАЧА 1

Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле

 .

РЕШЕНИЕ. Область интегрирования органичена прямыми y = 1, y = 3, x = 0, x = 2y. На рис.2.1. она представляет трапецию АВСD.

 


 D Н С 

А В 

 0 х

Рис.2.1. Область интегрирования

При интегрировании в другом порядке, вначале по y, необходимо разбить область АВСD прямой BH, параллельной Оy на две части, так как нижняя линия границы этой области состоит из двух частей АВ и ВС, которые имеют уравнения y = 1 и y = x/2.

Поэтому интеграл при изменении порядка интегрирования окажется равным сумме двух интегралов

2.2. ЗАДАЧА 2

Вычислить двойной интеграл 

где D – круговое кольцо, заключенное между окружностями

  (рис.2.2)

 y 

 

  х

 

 

 Рис.2.2. Область интегрирования D

РЕШЕНИЕ. Преобразуем двойной интеграл, отнесенный к декартовым координатам (x,y), в двойной интеграл в полярных координатах (r,j). Имеем . Якобиан соответствующего преобразования равен r.

 Очевидно, что точкам (x,y)ÎD взаимно однозначно соответствуют точки (r,j) области  Поэтому данный интеграл равен

 


Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле