Приложения тройного интеграла.
1. Объем V тела G находится по формуле:
(21)
2. Масса m тела G с объемной плотностью ρ(х,у,z) вычисляется по формуле:
(22)
3.Статические моменты
тела G относительно координатных плоскостей Оху, Oxz, Oyz соответственно равны:
(23)
4. Координаты центра тяжести тела G с массой m определяются по формулам:
5. Моменты инерции тела G относительно координатных плоскостей равны:
(24)
6. Моменты инерции
относительно координатных осей Ох, Оу, Oz и полярный момент инерции
относительно начала координат равны:
(25)
Для однородного тела ρ(x,y,z)=const и в некоторых задачах полагают ρ=1.
Пример 1: Вычислить объем тела, ограниченного эллипсоидом
![]()
Решение: Для вычисления объема в тройном интеграле (21) перейдем к обобщенным сферическим координатам x=acosφcosψ, y=bsinφcosψ, z=csinψ. Уравнение эллипсоида в них принимает вид r=1, а углы φ и ψ изменяются так же, как для шара. Область Ω является прямоугольным параллелепипедом
,
,
:
Пример 2: Найти координаты центра тяжести однородного тела, ограниченного параболоидом z=3-x²-y² и плоскостью z=0.
Рис.44
Решение: В силу симметрии тела относительно координатных плоскостей Оxz и Oyz (рис.44)
, осталось найти
. Вначале вычислим массу m тела. Введем цилиндрические координаты : x=rcosφ, y=rsinφ, z=z и расставим пределы интегрирования в области G:
Вычисляем статический момент
:
и находим
.
Пример 3: Вычислить момент инерции однородного шара
радиуса 1 относительно его центра.
Решение: Поместим начало координат в центр шара. Тогда момент инерции шара относительно центра будет равен моменту инерции относительно начала координат, т.е. полярному моменту инерции. При вычислении тройного интеграла переходим к сферическим координатам.