Приложения тройного интеграла.
1. Объем V тела G находится по формуле:
(21)
2. Масса m тела G с объемной плотностью ρ(х,у,z) вычисляется по формуле:
(22)
3.Статические моменты 
тела G относительно координатных плоскостей Оху, Oxz,
Oyz соответственно равны:
(23)
4. Координаты центра тяжести тела G с массой m определяются по формулам:
5. Моменты инерции тела G относительно координатных плоскостей равны:
(24)
6. Моменты инерции 
относительно координатных осей Ох, Оу, Oz и полярный
момент инерции 
относительно начала
координат равны:
(25)
Для однородного тела ρ(x,y,z)=const и в некоторых задачах полагают ρ=1.
Пример
1: Вычислить объем тела, ограниченного эллипсоидом 
Решение: Для вычисления объема
в тройном интеграле (21) перейдем к обобщенным сферическим координатам x=acosφcosψ,
y=bsinφcosψ, z=csinψ. Уравнение эллипсоида в них принимает вид
r=1, а углы φ и ψ изменяются так же, как для шара. Область Ω является
прямоугольным параллелепипедом 
,
, 
:
Пример 2: Найти координаты центра тяжести однородного тела, ограниченного параболоидом z=3-x²-y² и плоскостью z=0.
 |
Рис.44
Решение: В силу симметрии
тела относительно координатных плоскостей Оxz и Oyz (рис.44) 
, осталось найти 
. Вначале вычислим массу m тела. Введем цилиндрические
координаты : x=rcosφ, y=rsinφ, z=z и расставим пределы интегрирования
в области G:
Вычисляем
статический момент 
:
и
находим 
.
Пример 3: Вычислить момент инерции однородного
шара 
радиуса 1 относительно его центра.
Решение: Поместим начало координат в центр шара. Тогда момент инерции шара относительно центра будет равен моменту инерции относительно начала координат, т.е. полярному моменту инерции. При вычислении тройного интеграла переходим к сферическим координатам.
