Записать двойной интеграл Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода Обыкновенные дифференциальные уравнения Экспертиза холодильника - примеры. Вычисление площадей плоских фигур Тройной интеграл Вычислить объем тела Замена переменных в тройном интеграле

Пример 4: Перейти к сферическим координатам и вычислить , где G- объем, ограниченный поверхностями x2+y2=z2, x2+y2+z2=a2, z=0, x=0, y=0

 Решение: Область G- это часть шара, лежащего в первом октанте и вырезанного конусом (рис.42).Как уже говорилось, для шара в первом октанте , , а угол ψ наименьшее значение принимает на поверхности конуса. Найдем его из уравнения конуса, преобразовав к сферическим координатам: r²(cos²φ+sin²φ)cos²ψ=r²sin²ψ или tgψ=1,откуда получаем .

Перейдем к сферическим координатам:

 


 Рис.42 Рис.43

Пример 5: В интеграле  перейти к сферическим координатам и расставить пределы интегрирования, если G – общая часть двух шаров  и .

Решение: Область G приведена на рис.43. Из рисунка видно, что нижней границей области является сфера со смещенным центром, ее уравнение r=2Rsinψ, а верхней – сфера с центром в начале координат, уравнение которой r=R. Поэтому область G необходимо разбить на две области конической поверхностью, проходящей через линию пересечения двух сфер. Найдем ее уравнение: 2Rsinψ=R или sinψ=1/2 , откуда получаем . В первой области при  координата r изменяется от 0 до 2Rsinψ, а во второй области при  r изменяется от 0 до R. В обоих случаях , так как проекциями этих областей на плоскость Оху является круг. В итоге получаем

Замечание: При решении некоторых задач, например, связанных с радиолокацией, удобнее отсчитывать угол y не от плоскости Oху, а от оси Oz. Приведем данные координаты:

, где 0£j<2p, 0£y£p, 0£r<+¥, .


Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле