Пример 1: Вычислить
, где G – шар
.
Решение: Границей области G является сфера x2+y2+z2=1, уравнение которой в сферических координатах имеет вид r=1. Так как r – расстояние до начала координат, то для любой точки шара выполняется неравенство
. Угол φ вводится в плоскости Oxy так же, как и в полярных координатах. Проекция шара на плоскость Oxy - круг, а для круга
. Угол отклонения ψ от плоскости Oxy принимает наибольшее значение
для точек, лежащих на оси Оz при z>0 и наименьшее значение
на оси Oz при z<0. Поэтому для шара всегда
. Таким образом, при переходе к сферическим координатам шар G преобразуется в область Ω, которая является прямоугольным параллелепипедом:
,
,
.
Пример 2: Вычислить
, где G – часть шара
, лежащая в первом октанте (x>0, y>0, z>0).
Рис.40
Решение: Область G приведена на рис. 40. Как уже говорилось, для всех точек шара справедливо
. Проекцией области G на плоскость Оху является часть круга, лежащего в первой четверти, поэтому
. Угол ψ принимает в данной области наименьшее значение ψ=0 для точек координатной плоскости z=0 , а наибольшее значение
для точек на оси Оz при z>0. Расставляем пределы интегрирования:
Пример 3: Вычислить тройной интеграл
, если область G ограничена сферой
.
Рис.41
Решение: Преобразуем уравнение сферы к каноническому виду, выделив полный квадрат по z:
. Сфера с центром в точке (0,0,1/2) радиуса 1/2, касается начала координат и расположена выше координатной плоскости z=0 (рис. 41). Ее уравнение в сферических координатах имеет вид r=sinψ, так что для всех внутренних точек выполняется неравенство
. Так как проекцией области G на плоскость Оху является круг, то
.Угол отклонения ψ для данной области изменяется в пределах
. Расставляем пределы интегрирования: