Пример 1: Вычислить 
, где G – шар 
.
Решение: Границей области G является сфера x2+y2+z2=1,
уравнение которой в сферических координатах имеет вид r=1. Так как r – расстояние
до начала координат, то для любой точки шара выполняется неравенство 
.
Угол φ вводится в плоскости Oxy так же, как и в полярных координатах. Проекция
шара на плоскость Oxy - круг, а для круга 
.
Угол отклонения ψ от плоскости Oxy принимает наибольшее значение 
для точек, лежащих на оси Оz при z>0
и наименьшее значение 
на оси Oz при z<0. Поэтому для шара всегда 
. Таким образом, при переходе к сферическим
координатам шар G преобразуется в область Ω, которая является прямоугольным
параллелепипедом: , , .
Пример
2: Вычислить 
, где G – часть шара , лежащая в первом октанте (x>0, y>0, z>0).
 |
Рис.40
Решение: Область G приведена
на рис. 40. Как уже говорилось, для всех точек шара справедливо . Проекцией области G на плоскость Оху является часть
круга, лежащего в первой четверти, поэтому 
. Угол ψ принимает в данной области наименьшее значение
ψ=0 для точек координатной плоскости z=0 , а наибольшее значение
для точек на оси Оz при z>0. Расставляем пределы интегрирования:
Пример 3: Вычислить тройной интеграл 
, если область G ограничена сферой
.
Рис.41
Решение:
Преобразуем уравнение сферы к каноническому виду, выделив полный квадрат по z:
. Сфера с центром в точке (0,0,1/2) радиуса 1/2, касается
начала координат и расположена выше координатной плоскости z=0 (рис. 41). Ее уравнение
в сферических координатах имеет вид r=sinψ, так что для всех внутренних точек
выполняется неравенство 
. Так как проекцией области G на плоскость Оху является
круг, то .Угол отклонения ψ
для данной области изменяется в пределах 
. Расставляем пределы интегрирования:
