Записать двойной интеграл Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода Обыкновенные дифференциальные уравнения Вычисление площадей плоских фигур Тройной интеграл Вычислить объем тела Замена переменных в тройном интеграле

Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах.

Цилиндрическими координатами точки M(x,y,z) называются три числа (r,φ, z), где z – аппликата точки М, а r и φ – полярные координаты проекции точки М (т.е. точки Mº(х,у,0)) на плоскости Оху. С декартовыми координатами они связаны соотношениями: , где 0£j<2p, 0£r<+¥, -¥<z<+¥. Якобиан перехода к цилиндрическим координатам (как и к полярным координатам на плоскости) J=r, в чем не трудно убедиться самостоятельно. Из (4) получаем формулу перехода к цилиндрическим координатам в тройном интеграле:

  (19)

Цилиндрические координаты удобно применять в случае, когда область интегрирования содержит следующие поверхности:

а) цилиндр x2+y2=R2, где R- радиус, а уравнение цилиндра принимает вид r=R;

б) конус z2=x2+y², уравнение которого в цилиндрических координатах r=z;

в) параболоид вращения z=x2+у², уравнение которого имеет вид z= r²,

или если подынтегральная функция содержит выражения вида x2+y2=r²

На практике для расстановки пределов интегрирования в тройном интеграле в цилиндрических координатах поступают так же, как и в декартовых координатах. Область G, уравнения границ которой переведены в цилиндрические координаты, проектируется на плоскость Оху в область D, а в области D вводятся полярные координаты.

Пример 1: Перейти к цилиндрическим координатам и вычислить тройной интеграл , где G- объем, ограниченный цилиндром x2+y2=1 и плоскостями x+y+z=2 и z=0.

Решение: В цилиндрических координатах уравнение цилиндра имеет вид r=1, уравнение наклонной плоскости – r(cosφ+sinφ)+z=2, а подынтегральная функция равна r². Область G ограничена снизу координатной плоскостью z=0, а сверху – наклонной плоскостью z=2-(cosφ+sinφ) (рис.37). Проекцией области G на плоскость Оху является круг единичного радиуса, граница которого r=1. Поэтому область D

Рис.37 задается неравенствами   . В итоге получаем:

Пример 2. Вычислить , если область G ограничена плоскостями у=0, z=0, z=a и цилиндром x²+y²=2x.

Решение: Очевидно, что область G – часть цилиндра, лежащего в первом октанте и заключенного между плоскостями z=0 и z=a (рис.38). Его уравнение в цилиндрических координатах имеет вид r=2cosφ, а подынтегральная функция равна zr. Проекцией области G на плоскость Оху является половина круга единичного радиуса с центром на оси Ох в точке (1,0), находящаяся в первой четверти. Уравнение границы круга имеет вид r=2cosφ , а область D задается неравенствами:

 


 Рис.38 Рис.39


Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле