Записать двойной интеграл Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода Обыкновенные дифференциальные уравнения Вычисление площадей плоских фигур Тройной интеграл Вычислить объем тела Замена переменных в тройном интеграле

Замена переменных в тройном интеграле.

 Довольно часто вычисление тройного интеграла в декартовых координатах связано с трудностями, обусловленными определенным видом границ области интегрирования или видом самой подынтегральной функции многих переменных. В этом случае выбирают новую систему координат, при переходе к которой вычисления становятся возможными.

Рассмотрим переход к криволинейным координатам u,v,w, которые связанны с декартовыми координатами соотношениями

 и якобиан преобразования . Тогда операция перехода к новым координатам представлена следующим равенством:

  (18)

Пример 1: Перейти к новым координатам и расставить пределы интегрирования в интеграле , где G- объем, ограниченный поверхностями x+y=1, x+y=-1, x-y=1, x-y=-1, z=0, z=x2+y2.

 Решение: Перейдем к новым координатам u=x+y, v=x-y, w=z и вычислим величину, обратную якобиану:

. Тогда , а границы области Ω имеют вид: u=1, u=-1, v=1, v=-1, w=0, w=x2+y2 . Очевидно, что нижней границей области Ω является плоскость w=0, а верхней – поверхность параболоида вращения w=x2+y2 . Проекцией Ω на плоскость Оuv является квадрат со сторонами u=1, u=-1, v=1, v=-1.Подставим полученный результат в интеграл и выполним расстановку пределов

 

Пример 2: Вычислить интеграл , если область G ограничена поверхностями  (0<a<b), z=αx, z=βx, (0<α<β), z=h (h>0).

Решение: Введем новые переменные , так что область Ω будет являться прямоугольным параллелепипедом, ограниченным плоскостями u=a, u=b, v=α, v=β, w=0, w=h. Старые переменные через новые выражаются следующим образом: . Вычисляем якобиан преобразования ,  .Тогда

 


Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле