Записать двойной интеграл Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода Обыкновенные дифференциальные уравнения Вычисление площадей плоских фигур Тройной интеграл Вычислить объем тела Замена переменных в тройном интеграле

Пример 2: Вычислить интеграл , если область G ограничена гиперболическим параболоидом z=xу и плоскостями x+y=1 и z=0 (z>0).

Решение: Область G ограничена снизу плоскостью z=0 , а сверху- поверхностью гиперболического параболоида (рис.34). Проекцией данной области на плоскость Оху является треугольник, образованный осями координат х=0, у=0 и прямой х+у=1 (рис.33). Поэтому тройной интеграл сводится к повторным следующим образом:

 Рис.34

Возможен и другой подход к вычислению интеграла, когда в качестве внешнего интеграла удобно выбрать интеграл по z и расставлять пределы внутренних интегралов, используя сечение фигуры плоскостью z=const. В этом случае применяют формулу:

,  (17)

где S(z) –сечение объема плоскостью z=const.

Пример 3: Вычислить интеграл, где G- объем, ограниченный плоскостями у=0, y=x, z=1, z=x.

 Решение: Построим область интегрирования (рис.35а). Выберем z в качестве внешней переменной интегрирования. Из уравнения границ видно, что z меняется от 0 до 1. Построим сечение фигуры плоскостью z=const (рис 35б) и из

 1

 

 Рис.35а Рис.35б

уравнения границ находим значения для переменных x и y. Подставим пределы в интеграл

Пример 4: Заменить тройной интеграл однократным.

Решение: Построим область G, ограниченную плоскостями х=0, х=1, у=0, у=1, z=0, z=х+у (рис.36а). Чтобы свести тройной интеграл к однократному, внешний интеграл нужно взять по переменной z, т.к. подынтегральная функция является функцией z. Проведем сечение объема плоскостью z=const, причем при 0<z<1 сечение приведено на рис.36б, а при 1<z<2 – на рис.36в.

 


 

Рис.36а

 


  Рис.36б Рис.36в

Тогда интеграл можно переписать в виде


Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле