Записать двойной интеграл Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода Обыкновенные дифференциальные уравнения Вычисление площадей плоских фигур Тройной интеграл Вычислить объем тела Замена переменных в тройном интеграле

 Тройной интеграл в декартовых координатах.

 Тройной интеграл является обобщением интеграла Римана на случай функции трех переменных. Определение тройного интеграла, а также его свойства аналогичны определению и свойствам двойного интеграла.

Определение: Тройным интегралом от непрерывной функции u=f(x,y,z) по ограниченной кубируемой (измеримой по Жордану) области G называется

, где - разбиение области G на кубируемые части Gi ,  - максимальный диаметр объема разбиения ΔVi.

Вычисляют тройной интеграл также как и двойной, сведением к повторным интегралам, при этом порядок следования переменных выбирается так, чтобы упростить проводимые вычисления.

Пусть область G из пространства Охуz проектируется в область D плоскости Оху так, что всякая прямая, параллельная оси Оz и проходящая внутри области D, пересекает границу тела только в двух точках. В общем случае такая область ограничена снизу поверхностью , сверху – поверхностью , а с боков – цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Оz (рис.30). В частных случая боковая поверхность цилиндра может превратиться в линию (рис.31).

 Рис.30 Рис.31

 

Тройной интеграл по такой области вычисляется по формуле:


  (15)

Здесь внутренний интеграл  берется по z от нижней границы области G до ее верхней границы при фиксированных, но произвольных в области D значениях х и у. В результате получается некоторая функция от х и у, которая затем интегрируется в области D.

Наиболее простой вид формула (15) принимает в случае, когда областью интегрирования является прямоугольный параллелепипед, ограниченный плоскостями x=a, x=b, y=c, y=d, z=p, z=q (a<b, c<d, p<q) и пределы интегрирования по всем трем переменным являются константами

  (16)

Если область G имеет более сложную форму, то ее разбивают на конечное число областей, удовлетворяющих приведенным выше условиям.

Замечание: Аналогичные определения и формулы могут получены и тогда, когда область G проектируется в область D, лежащую в плоскости Охz или Оуz.

Пример 1: Вычислить интеграл  , где G – область, ограниченная плоскостями x=0, y=0, z=0, x+y+z=1.

Решение: Для правильной расстановки пределов интегрирования построим область G (рис.32). Область интегрирования G представляет фигуру, проекция которой на плоскость Oху есть треугольник с координатами вершин (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0).

  Рис.33

Очевидно, что нижняя граница области G – плоскость z=0, а верхняя – плоскость z=1-х-у, это и будут пределы интегрирования по z. Для расстановки пределов по x и y в области D воспользуемся опытом вычисления двойных интегралов. Область D приведена на рис.33. Из рисунка видно, что x меняется в пределах от 0 до 1, а у от 0 до значения на прямой y=1-x:


Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле