Записать двойной интеграл Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода Обыкновенные дифференциальные уравнения Вычисление площадей плоских фигур Тройной интеграл Вычислить объем тела Замена переменных в тройном интеграле

Физические приложения двойного интеграла.

Пусть D – плоская пластина, лежащая в плоскости Оху с поверхностной плотностью ρ(х,у). Тогда:

1. массу m пластинки находят по формуле

  (10)

2. статические моменты  и  пластинки относительно координатных осей находят по формулам

  (11)

3.кординаты центра тяжести  и  пластинки – по формулам

  (12)

4. Моменты инерции ,  и  пластинки соответственно относительно координатных осей Ох и Оу и начала координат находят по формулам

  (13)

  (14)

Для однородных пластинок поверхностная плотность . В некоторых задачах для простоты полагают .

Пример 1. Найти массу круглой пластины D  с поверхностной плотностью ρ(х,у)=3-х-у.

Решение: Массу пластины вычисляем по формуле (10):

Поскольку пластина является круглой, вначале в двойном интеграле переходим к полярным координатам, а затем при вычислении внутреннего интеграла учитываем тот факт, что интеграл по периоду от тригонометрических функций равен нулю.

Пример 2. Найти статический момент однородного прямоугольника со сторонами а и b относительно стороны а, считая, что прямоугольник лежит в плоскости Оху.

Решение: Поместим начало координат в одну из вершин прямоугольника так, чтобы ось Ох совпадала со стороной а, а ось Оу – со стороной b. Статический

момент прямоугольника относительно стороны а будет равен статическому моменту относительно оси Ох. По первой из формул (11) получаем:


Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле