Записать двойной интеграл Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода Обыкновенные дифференциальные уравнения Вычисление площадей плоских фигур Тройной интеграл Вычислить объем тела Замена переменных в тройном интеграле

Пример 4. Вычислить объем тела, ограниченного плоскостями z=0, y+z=2 и цилиндром .

Решение: Данное тело ограничено сверху плоскостью z=2-у (рис.25), поэтому по формуле (7) . Область D есть параболический сегмент, ограниченный параболой  и прямой у=2, проектируя которую на ось Оу, получаем:


 Рис.25 Рис.26

Пример 5. Вычислить объем тела, ограниченного плоскостью у=0 и параболоидом .

Решение: В этой задаче удобно считать, что тело стоит на плоскости Oxz и сверху ограничено параболоидом  (рис.26), а область D есть круг с границей . Поэтому вычисляем объем следующим образом:

Задача 6. Вычислить площадь поверхности параболоида z=xy, лежащей внутри цилиндра .

Решение: Площадь поверхности вычисляем по формуле (9), при этом ,  и . Поскольку область D - круг , то при вычислении двойного интеграла переходим к полярным координатам.


Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле