Записать двойной интеграл Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода Обыкновенные дифференциальные уравнения Вычисление площадей плоских фигур Тройной интеграл Вычислить объем тела Замена переменных в тройном интеграле

Пример 4. В двойном интеграле  перейти к полярным координатам и расставить пределы интеграции в том и другом порядке, если область D ограничена линиями

Решение: Кривая является уравнением окружности с центром в точке (0,1): . При  выбирается верхняя половина круга – это и будет область D . Переведем границы области в полярные координаты, при этом уравнение окружности имеет вид . Если из него выразить φ, получаем  для правой ветки окружности и   - для левой. Прямая y=1 в полярных координатах имеет уравнение  или  и  для отрезков прямых, лежащих в первой и во второй четверти соответственно. Нанесем координатные линии φ=const, откуда определяем, что область D расположена между лучами  и , а радиус изменяется от значения на отрезке прямой y=1 до значения на дуге окружности (рис.23а). Тогда получаем:

.

 Рис.23а Рис.23б

Проведем линии r=const и определяем, что область заключена между координатными линиями r=1 и r=2, а координатная линия  проходит через точки (±1,1), в которых пересекаются границы области - окружность и прямая (рис.23б). Поэтому D необходимо разбить на две простые области относительно φ:  и  и пределы интегрирования в двойном интеграле расставляются так:

 

Замечание: В некоторых случаях, если область интегрирования в двойном интеграле ограничена окружностью , удобнее делать замену . При такой замене осуществляется параллельный перенос системы координат в центр окружности, а якобиан преобразования при этом не изменяется, т.е. J=r (предлагается убедиться в этом самостоятельно). В частности, если в примере 4 ввести замену , то уравнение окружности  преобразуется к виду r=1, а область интегрирования Ω в координатах Оrφ становится прямоугольной: .

Пример 5. Вычислить интеграл , где область D – лежащая в первой четверти часть эллиптического кольца .

Замечание: В случае, когда область интегрирования в двойном интеграле является эллипс или его часть, то вводят обобщенные полярные или

эллиптические координаты . При этом J=abr (проверить самостоятельно), а выражение  преобразуется в выражение .

Решение: Перейдем к эллиптическим координатам, при этом границы эллиптического кольца принимают вид r=1 и r=2, а вся область расположена между лучами φ=0 и . Поэтому интеграл вычисляем следующим образом:


Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле