Записать двойной интеграл Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода Обыкновенные дифференциальные уравнения Вычисление площадей плоских фигур Тройной интеграл Вычислить объем тела Замена переменных в тройном интеграле

Переход к полярным координатам в двойном интеграле.

Важнейшим частным случаем криволинейных координат являются полярные координаты (r,φ). Они связаны с прямоугольными координатами формулами:, . Якобиан преобразования в этом случае , а формула перехода к полярным координатам в двойном интеграле имеет вид:

  (4)

Переходить к полярным координатам удобно в тех случаях, когда область интегрирования есть круг, кольцо или их часть, а так же в случае, когда подынтегральная функция имеет вид . В полярных координатах выражение . Границей круга является окружность  и ее уравнение в полярных координатах принимает вид: r=R. Тогда область D - круг  в полярной системе координат на плоскости Оrφ переходит в прямоугольную область Ω, которая задается неравенствами :  (рис.17а,б).

Интегрирование в полярных координатах проводится по координатным линиям r=const и φ=const. Линии r=const представляют из себя окружности с центром в начале координат. По окружностям происходит изменение координаты φ. Линии φ=const – это семейства лучей, выходящих из начала координат, по которым происходит изменение координаты r. Координатная сетка в полярных координатах изображена на рис.18.

 


 

Рис.17а Рис.17б Рис.18

Пусть область D расположена между лучами φ=α и φ=β, где α< β, и ограничена линиями  и , где  и любой луч, выходящий из полюса φ=const () пересекает ее границу не более чем в

 двух точках (простая область относительно r) (рис.19).Тогда двойной интеграл сводится к повторному по формуле:


 

 Рис.19 Рис.20

   (5)

Пусть область D расположена между окружностями r=а и r=b, где а< b и ограничена линиями  и , где  и любая окружность радиуса r=const () пересекает границу области не более чем в двух точках (правильная относительно φ) (рис.20). В этом случае двойной интеграл сводится к повторному по формуле:

   6)

Пример 1. Вычислить двойной интеграл , где область D ограничена окружностью .

Решение: Как уже говорилось выше, если интегрирование ведется по кругу, то уравнение его границы в полярных координатах имеет вид r=1, а на плоскости Оrφ область Ω является прямоугольником . Осталось записать в полярных координатах подынтегральную функцию: . Вычисляем интеграл


Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле