Записать двойной интеграл Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода Обыкновенные дифференциальные уравнения Вычисление площадей плоских фигур Тройной интеграл Вычислить объем тела Замена переменных в тройном интеграле

Пример 2. Вычислить , где D ограничена кривыми , ху=1, ху=5.

Решение: Из изображения D на рис.15а. видно, что расставить пределы интегрирования для данной области не очень просто, однако подходящая замена переменных позволяет свести этот интеграл к интегралу по прямоугольнику. Нетрудно увидеть, что на границе области D величины  

ху являются постоянными. Поэтому введем новые переменные  

 и вычислим . Отсюда находим . Граница области Ω на плоскости Ouv описывается прямыми u=4, u=9, v=-1, v=5 (рис.15б), поэтому в новых переменных двойной интеграл вычисляется много проще:

 

Пример 3. Вычислить , если D ограничена параболой  и прямыми х+у=4 и х+у=12.

Решение: Область D приведена на рис.16а. Для упрощения области интегрирования введем следующую замену переменных , откуда выражаем х=u-v и подставляем в уравнение параболы . Разрешая квадратное уравнение , получаем уравнение образа исходной параболы на плоскости Ouv: . Область Ω ограничена параболой, определенной при , вершина которой находится в точке  и прямыми u=4, u=12 (рис.16б). Вычисляем якобиан и применяем формулу замены переменной в двойном интеграле:

 


Рис.16а Рис.16б


Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле