Записать двойной интеграл Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода Обыкновенные дифференциальные уравнения Вычисление площадей плоских фигур Тройной интеграл Вычислить объем тела Замена переменных в тройном интеграле

Пример 8. Изменить порядок интегрирования в интеграле .

Решение: Область D расположена между прямыми x=0 и x=1. Ее нижняя граница - прямая у=х, а верхняя - дуга окружности  (рис.12). Проектируем область D на ось Оу, в результате получаем отрезок . Левой границей области является прямая х=0, правой -  на участке [0,1] прямая х=у, а на участке  - дуга окружности

. Поэтому область D разбиваем на две области  и, а интеграл – на сумму двух интегралов:

Пример 9. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле .

Решение: Для каждого из повторных интегралов построим свою область. Область  находится в полосе между прямыми y=-2 и y=0. Ее левой границей является прямая х=-1, а правой – прямая х=у+1. Область  находится в полосе между прямыми y=0 и y=π и имеет левую границу х=-1 и правую границу х=cosy. Сумма этих двух областей и есть искомая область D, она изображена на рис.13. Спроектируем ее на ось Ох, получим отрезок [-1,1]. Относительно оси Ох область D является простой, ее нижней границей является прямая у=х-1, а верхней – у=arccosх.

 Рис. 13

Повторный интеграл принимает вид:

1.3. Замена переменных в двойном интеграле (общий случай).

Рассмотрим двойной интеграл  в декартовых прямоугольных координатах (х,у). Предположим, что переменные х и у являются функциями независимых переменных u и v, т.е. . Если эти функции непрерывно дифференцируемы и осуществляют взаимно-однозначное отображение ограниченной и замкнутой области D плоскости Оху на область Ω плоскости Оuv и якобиан

,

то справедлива формула замены переменной в двойном интеграле:

  (4)

Координаты (u,v) называются криволинейными координатами точки (х,у). Цель замены переменных – упрощение вычисления двойного интеграла.

Замечание: Если замена осуществляется функциями , то величина

.

Пример 1. Вычислить двойной интеграл , если область D – параллелограмм со сторонами у=2х-3, у=2х+5, у=-х+7, у=-х-1.

Решение: Параллелограмм изображен на рис.14а. Хотя подынтегральная функция и область интегрирования простые, вычисление данного интеграла в прямоугольных координатах Оху приводит к громоздким вычислениям.

Заметим, что уравнения прямых можно записать в виде: у-2х=3, у-2х=5, у+х=7, у+х=1. Перейдем к новым координатам с помощью замены , откуда находим . Вычисляем  и получаем .

В новой системе координат Ouv область Ω ограничена прямыми u=3, u=5, v=-1, v=7, т.е. представляет собой прямоугольник (рис.17б), а подынтегральная функция равна . Переходим к вычислению интеграла:


Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле