Записать двойной интеграл Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода Обыкновенные дифференциальные уравнения Вычисление площадей плоских фигур Тройной интеграл Вычислить объем тела Замена переменных в тройном интеграле

ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Пример 4. Вычислить интеграл , если область D ограничена кривой x=2+siny и прямыми x=0, y=0, у=2π.

Решение: Область D является простой областью относительно оси Оу, т.е. областью вида (II). Левая ее граница x=0, а правая - x=2+siny (рис.8). При любом фиксированном значении у из отрезка [0,2π] определяем, что координата х изменяется от x=0 до x=2+siny. Поэтому по формуле (2) имеем:

Пример 5. В двойном интеграле  расставить пределы интеграции в том и другом порядке, если область D – треугольник с вершинами в точках O(0,0), A(1,0), B(1,1).

Решение: Область D изображена на рис.9. Она является простой областью вида (I) и (II), поэтому для расстановки пределов интегрирования в двойном интеграле воспользуемся формулами (1) и (2).

Для применения формулы (1) область D проектируем на ось Oх и получим отрезок [0,1] – это пределы интегрирования во внешнем интеграле. Далее для расстановки пределов интегрирования во внутреннем интеграле при любом фиксированном   проводим координатные линии y=cоnst и по ним определяем, что нижняя граница области D y=0, а верхняя граница – прямая y=x. Таким образом получим:

.

Для применения формулы (2) область интегрирования D проектируем на ось y и получаем отрезок [0,1],а затем проводим координатные линии x=cоnst и определяем, что левая граница x=0, а правая граница - прямая x=y. Тогда двойной интеграл преобразуется к виду:

.

Пример 6. В двойном интеграле  расставить пределы интеграции в том и другом порядке, если область D ограничена прямыми x=0, x=1, y=1 и кривой

Решение: Построим область D, но вначале нужно понять, как нарисовать кривую . Приведем ее уравнение к каноническому виду. Для этого возведем обе части этого уравнения в квадрат, помня, что  и , т.е. . Получаем: . Теперь все слагаемые перенесем в левую часть и выделим полный квадрат по переменной х:  или . Таким образом, заданная кривая – это нижняя дуга () окружности радиуса 1 с центром в точке (1,0). Область изображена на рис.10.

Область D является простой областью относительно оси Oх, она находится в полосе между прямыми x=0 и x=1. Ее нижней границей является дуга окружности , а верхней – прямая y=1. Следовательно, .

Для расстановки пределов интегрирования в другом порядке проектируем область D на ось Oу и получаем отрезок [-1,1]. Из рис.10 видно, что область D ограничена слева дугой окружности (при ) и отрезком прямой x=0 (при ). Поэтому ее разбиваем на две простые области  и  координатной линией y=0. Левая граница области  находится из уравнения окружности : . Тогда область  определяется неравенствами: , . Область  есть прямоугольник , . Применяя формулу (2) и третье свойство двойного интеграла (см. п.1.1), получаем:

Пример 7. В двойном интеграле  расставить пределы интеграции в том и другом порядке, если область D ограничена прямыми x+у=10, x-у=4, y=0 и параболой .

Решение: Область D представлена на рис.11, из которого видно, что она не является простой ни в одном из направлений, поэтому ее необходимо разбить на простые области.

Проектируем D на ось Oх и получаем отрезок [0,7]. При этом нижней границей области D являются прямые y=0 при  и у=х-4 при , которые пересекаются в точке (4,0). Верхняя граница так же состоит из двух частей - кубической параболы  при и прямой у=10-х при , которые пересекаются в точке (2,8) . Через точки пересечения границ проводим координатные линии х=2 и х=4, которые разбивают D на три простые области ,,. В  при  нижняя граница y=0, а верхняя . В  при  нижняя граница y=0, а верхняя – прямая у=10-х. В   при  нижняя граница у=х-4, а верхняя - у=10-х. Расставляя пределы интегрирования для каждой из простых областей, получаем:

Для второго способа расстановки пределов интегрирования проектируем область D на ось Oу и разбиваем ее на две области. В первой области при   левая граница описывается выражением , а правая - х=у+4. Во второй области при  левая граница по-прежнему остается параболой , а правой границей является прямая х=10-у. В итоге получаем:

 

В качестве упражнения на расстановку пределов интегрирования рассмотрим задачу о перемене порядка интегрирования в повторном интеграле . Для ее решения необходимо построить область интегрирования D, которая находится в полосе между прямыми x=a, x=b и ограничена снизу линией, а сверху- линией. Затем область D проектируем на ось Oу и находим уравнения прямых y=c, y=d, ограничивающих снизу и сверху полосу, в которой расположена область D. Затем находят левую  и правую  границы области. Если какая-либо граница состоит из двух или большего числа линий, записанных разными уравнениями, то область D разбиваем на части (простые области типа (II)). Аналогично поступают, если требуется переменить порядок интегрирования в повторном интеграле , только в этом случае область D проектируют на ось Oх.


Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле