ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Пример 1. Вычислить интеграл 
, где 
.
Решение: Для прямоугольной области применяем формулу (3):
Сначала вычисляем внутренний интеграл, считая переменную x константой:
.
После подстановки пределов интегрирования по y, получаем функцию от х I(x)=2x+4, которую интегрируем по отрезку [1,2]:
Пример
2. Вычислить интеграл 
, где 
.
Решение: Как и в примере 1, двойной интеграл
сводится к повторному по формуле (3): 
При вычислении внутреннего интеграла по у, считаем х константой, которую по первому свойству двойного интеграла (см. п.1.1), выносим за знак интеграла:
В
данном примере удобнее воспользоваться еще одним свойством двойного интеграла.
Если подынтегральная функция f(x,y)=X(x)Y(y) является произведением двух функций,
одна из которых зависит только от x, а вторая - от y, и область интегрирования
является прямоугольной 
, то двойной интеграл равен произведению повторных интегралов,
т.е. 
. В этом случае результат вычисления внутреннего интеграла
есть число. Поэтому решение задачи 2 кратко можно записать так:
Пример 3. Вычислить интеграл 
, где область D ограничена линиями x=0, y=0, x=π,
y=1+cosx.
Решение: Область D является простой областью типа (I), так как любая прямая, параллельная оси Оу, пересекает границу области только в двух точках (рис.7). При любом фиксированном значении х из отрезка [0,π] координата y меняется от y=0 до y=1+cosx . Поэтому для вычисления интеграла воспользуемся формулой (1):
Отметим, что для вычисления данного интеграла можно было воспользоваться и формулой (2), т.к. область D также является простой областью вида (II). Но в этом случае границы области нужно задавать в виде х=х(у), что приводит к более громоздким вычислениям.