Записать двойной интеграл Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода Обыкновенные дифференциальные уравнения Вычисление площадей плоских фигур Тройной интеграл Вычислить объем тела Замена переменных в тройном интеграле

Вычисление физических характеристик пространственных фигур

Масса тела  с переменной плотностью :

  - в декартовых координатах,

  - в цилиндрических координатах.

Статические моменты относительно координатных плоскостей:

,

,

.

Координаты центра тяжести  тела :

.

Моменты инерции тела  относительно координатных плоскостей:

 

  ,

 ,

  ;

 

 относительно координатных осей:

 ,

  ,

 ,

   – центральный момент.

  Задача 16. Найти центр тяжести однородного тела , ограниченного цилиндром  и плоскостями  (рис. 30).

 Решение. Построим тело  (АВСОА), ограниченное данными поверхностями:

 – цилиндр параболический с направляющей параболой  (ее дуга ОС), а образующие параллельны оси ОХ; плоскость АВС:  или

, или  – параллельна оси ОZ, а на осях OX и OY (на рис. 30 выбрана левая ориентация) отсекает соответственно отрезки а = 6, b = 4. Коорди-

 
 


 

 Рис. 30

натные плоскости х = 0 и z = 0 ограничивают тело соответственно слева (криволинейный треугольник ОВС) и снизу (треугольник ОАВ). Из рис.30 следует, что  .

 Итак, масса тела

.

  Найдем статические моменты тела:

,

,

.

  Координаты центра тяжести ;

 

 .

 Ответ: .

 Задача 17. Найти момент инерции однородного   кругового цилиндра радиусом R и высотой  Н относительно диаметра основания.

 Решение. Выберем систему координат таким образом, чтобы одна из осей координат, например ОХ, совпала с диаметром, относительно которого находим момент инерции (рис. 31). Тогда  – уравнение цилиндра, причем , а . Решая задачу в цилиндрических координатах, получим 

 
 


 z

 H

 O y

 

 x

  Рис. 31 .

Положим  , ,

тогда

.

Если учесть, что тело  - однородный прямой круговой цилиндр, то масса его

, а .


Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле