Записать двойной интеграл Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода Обыкновенные дифференциальные уравнения Вычисление площадей плоских фигур Тройной интеграл Вычислить объем тела Замена переменных в тройном интеграле

Вычисление физических характеристик плоских фигур

 1) Масса плоской пластинки σ с переменной плотностью :

   – в декартовых координатах,

   – в полярных координатах.

  2) Статические моменты пластинки σ относительно координатных осей:

,

.

  3) Координаты центра тяжести  пластинки σ:

.

 4) Моменты инерции пластинки σ относительно координатных осей:

,

,

  – центробежный момент инерции,

  – центральный (полярный) момент инерции.

 Задача 12. Найти центр тяжести однородной фигуры , ограниченной синусоидой  и прямыми  (рис. 22).

 Решение. Воспользуемся формулами: . Масса фигуры

АВО: .

Теперь найдем статические моменты  и :

 

 
 


 у

 В 

 1  

  С

 0  π х

 

 Рис. 22

.

.

  Ответ: .

 Задача 13. Найти моменты инерции:

 а) параболического полусегмента , , , если плотность фигуры в каждой точке равна ее ординате (рис. 23).

 Решение. Воспользуемся формулами

;

 

 

  ;

 
 у

 2 

   В(1, 2) 

 0 А(1, 0) х

 

 Рис. 23

 

 Ответ:

 б) однородной круглой пластинки радиуса R относительно центра О.

 Решение. Пусть . Решаем задачу в полярной системе координат.

.

  Ответ: .


Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле