Записать двойной интеграл Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода Обыкновенные дифференциальные уравнения Вычисление площадей плоских фигур Тройной интеграл Вычислить объем тела Замена переменных в тройном интеграле

Вычисление объемов тел

 Задача 9. Вычислить объем тела, ограниченного эллиптическим параболоидом  и плоскостями 

 Решение. Очевидно, что сверху тело  ограничено частью эллиптического параболоида  ; в основании тела лежит прямо-

угольник . Значит, объем тела

 

 

 

 z

 

 

 C1 B1 

 A1 B(0, 2, 0)

 O  y

 A(1, 0, 0) C(1, 2, 0) 

 x 

  Рис. 19

 

 Ответ: .

 Задача 10. Вычислить объем тела, ограниченного цилиндрами ,  и плоскостями  (рис. 20).

Решение. Сверху тело ограничено частью ACМ цилиндрической поверхности  или  – это подынтегральная функция. Область интегрирования   – криволинейный треугольник АОВ, причем уравнение дуги АВ

,

 

где ,  – преде -лы изменения аргументов в области .

 

 

 z

 C(0, 0, a) M(0, 0, a)

 

 

 

 О B(0, a, 0)

 y

 A(a, 0, 0)

 х  Рис. 20 

 Таким образом,

 

 

 

 .

 Ответ: .

 Задача 11. Вычислить объем тела, ограниченного сферой  и цилиндром (на рис. 21 изображена  часть “тела Вивиани”).

 Решение. Эту задачу будем решать в полярных координатах. Подынтегральная

функция, задающая поверхность, которая ограничивает тело сверху, задается уравнением  в полярных координатах примет вид . Граница области  – полуокружность ОА в полярной системе координат задается уравнением , или .

Очевидно, что переменные  в области  изменяются в следующих пределах:

 
 z

 C(0, 0, 2R)

 

  O A(2R, 0, 0)

 φ х 

 B(0, 2R, 0)

 

 у 

  Рис. 21

. Итак,

.

Так как на рис. 21 изображена только четвертая часть “тела Вивиани”, расположенная в первом октанте, то

.

  Ответ: .


Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле