Записать двойной интеграл Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода Обыкновенные дифференциальные уравнения Вычисление площадей плоских фигур Тройной интеграл Вычислить объем тела Замена переменных в тройном интеграле

Задача 5. Вычислить двойной интеграл , если  ограничена окружностью .

 Решение.  – круг, радиус которого R = 1, а центр находится в начале координат.

Введем полярную систему координат, по-местив полюс в начало координат О(0, 0), а полярную ось совместим с осью ОХ (рис. 15). По формулам связи между декартовыми и полярными координатами получим уравнение границы области :  – окружность . Тогда по формулам перехода от декартовых координат к полярным, получим:

 

 
 


 y

 

 

 0 1 

 

 Рис. 15 

.

(Сделав поправку на (-2), внутренний интеграл берем как степенной).

 Ответ: .

 Замечание. Следует обратить внимание на то, что постоянными будут пределы интегрирования во внешнем и внутреннем интегралах двукратного интеграла в полярной системе координат в том, и только в том случае, если  – область интегрирования – круг с центром в полюсе, как в только что решенной задаче 5.

 Задача 6. Вычислить двойной интеграл , если  – фигура, ограниченная линиями  и осью ОХ ().

 Решение. Чтобы построить линию , приведем ее уравнение к кано-

ническому виду:  или . Очевидно, это окружность,

центр которой в точке , а радиус .

 

 у

 

 0  а  

 

 Рис. 16

Введем полярную систему координат. Уравнение окружности в ней примет вид . Из рис. 16 видно:  (стрелка на рисунке “входит” в  в начале координат, а “выходит” на окружности ). Получим

 

,

интеграл требует поправки на минус единицу:

.

  Ответ: .


Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле