Записать двойной интеграл Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода Обыкновенные дифференциальные уравнения Вычисление площадей плоских фигур Тройной интеграл Вычислить объем тела Замена переменных в тройном интеграле

 Задача 3. Дан двойной интеграл:. Восстановить область интегрирования  и изменить порядок интегрирования.

  Решение. Наличие двух слагаемых в правой части равенства свидетельствует

 y

 4 С 

 

 

  

 В  D

 

1 А

 

0 1 2 х

  Рис. 12

о том, что  разбита на две области:  (свойство 3). Первое слагаемое – повторный интеграл по : ABD   и  – пределы интегрирования, второе – повторный интеграл по : BCD    – пределы интегрирования (рис. 12). Функция записывается после того, как будут записаны пределы интегрирования .

Оказывается, если изменить порядок интегрирования, то эту задачу можно решить, вычислив один двукратный интеграл.

 Задача 4. Дан двойной интеграл . Восстано-вить область интегрирования и изменить порядок интегрирования.

 Решение. Из пределов интегрирования в правой части равенства следует:

. Построим область , преобразовав предварительно уравнение

 (рис. 13).

Очевидно, это окружность, центр которой находится в точке С(r, 0), а радиус равен r. Изменим порядок интегрирования. Решим уравнение окруж-

ности относительно х:

 

 
 

 у

 y=x

 σ

 r

  0 r 2r x

 Рис. 13

.

  Знак “минус” у корня выбираем из расчета, что в области  переменная . Итак: .

 Замечание. Необходимо заметить, что пределы интегрирования в двукратном интеграле будут постоянными по х и у в том, и только в том, случае, если  - область интегрирования – прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат. В общем же случае постоянны пределы только во внешнем интеграле: это интервал, в который спроектировалась  на ось, одноименную с внешней переменной, пределы интегрирования во внутреннем интеграле помогает определить стрелка, проходящая параллельно оси координат, одноименной с внутренней переменной.

Вычисление двойного интеграла в полярных координатах

 Если граница области интегрирования   состоит из окружности и ее дуг, а подынтегральное выражение содержит выражение , то имеет смысл ввести полярную систему координат , полюс которой О совпадает с началом координат данной прямоугольной системы, а полярная ось  направлена по оси ОХ. Тогда связь между полярными и декартовыми координатами выражается следующими формулами: , , при этом , а . Поэтому переход от декартовых координат к полярным под знаком двойного интеграла осуществляется по формуле

.

Чтобы вычислить интеграл, полученный в правой части, его заменяют двукратным

(повторным интегралом) (рис. 14). Для этого спроектируем  в полюс О с помощью лучей ОА и ОВ, при этом   – угол наклона ОА к полярной оси, а  – угол наклона ОВ. Это пределы изменения полярного угла  в области : .

 
 у

 В n

 

 m A

  

 О х,

 Рис. 14

Точки касания А и В разбивают границу  на две дуги: “нижнюю” AmB: , на которой стрелка, проведенная из полюса О, “входит” в область , и “верхнюю” АnB: , на которой эта стрелка “выходит” из . Это пределы изменения полярного луча : .

 Таким образом, получаем .


Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле