Записать двойной интеграл Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода Обыкновенные дифференциальные уравнения Вычисление площадей плоских фигур Тройной интеграл Вычислить объем тела Замена переменных в тройном интеграле

Вычисление двойного интеграла в прямоугольных координатах

 

 Задача 1. Вычислить , если область  ограничена линиями .

 Решение. Построим область интегрирования  (рис. 10). Найдем координаты точки А, решив совместно уравнения прямой  и гиперболы ,

А(1, 1). Область  (“треугольник” АВС) спроектируем на ось ОХ, в отрезок , проведем стрелку параллельно оси ОУ, которая “входит” в область  на линии  – это нижний предел интегрирования по у, а “выходит” из  на линии  – это верхний предел интегрирования по у.

 

 
 


 у

 у=х

 В

 

 1 А(1,1) 

 С ху=1

 0 1 2 х

  Рис. 10

Интегрирование начинаем с внутреннего интеграла по переменной у, поэтому х, как постоянную, выносим за знак этого интеграла.

.

  Ответ: .

 Задача 2. Вычислить интеграл  по области , ограниченной линиями  (ось ОХ).

 Решение. Построим область  (рис. 11). Видно, что координаты точки пересе-

 y

 D(0; 2)

 1 A(1,1) 

 

 B(2,0)

 0 C(1,0)  x

  

 Рис. 11

чения параболы  и прямой : А(1, 1) (Проверьте). Проектировать область треугольника ОАВ, как в предыдущей задаче, на ось ОХ нецелесообразно, т. к. по отношению к переменной у “верхняя граница” – ОАВ – “ломается” в точке А, состоит из двух линий ОА и АВ, поэтому не может быть описана одним уравнением, в таком случае  придется разби-

вать на части: ОАС и САВ, а данный интеграл вычислять как сумму двух интегралов по каждой из областей. Выгоднее изменить порядок интегрирования: внешний интеграл вычислить по у, спроектировав  на ось ОУ в отрезок , а внутренний – по х. Пределы интегрирования по х найдем с помощью стрелки, пересекающей  параллельно оси ОХ. “Входит” стрелка в   на параболе , или , а “выходит” стрелка на прямой , или . Таким образом,

.

  Ответ: .

 Замечание. Из решенных задач видно, что от выбора порядка интегрирования часто существенно зависит трудоемкость решения задачи двойного интегрирования. Подтверждение этому можно увидеть в следующих задачах.


Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле