Записать двойной интеграл Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода Обыкновенные дифференциальные уравнения Вычисление площадей плоских фигур Тройной интеграл Вычислить объем тела Замена переменных в тройном интеграле

Задание 5.

а) Найти общее решение дифференциального уравнения *.

 Решение. Так как производная в данном случае является функцией, зависящей только от переменной x, то его решение может быть получено в результате последовательного интегрирования: .

 Ответ. .

б) Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Поскольку данное уравнение не содержит в явном виде переменной , то замена   позволяет преобразовать его в уравнение первого порядка с разделяющимися переменными .

;

. Учтя, что  – произвольная постоянная, то полученное решение можно упростить: .

Ответ. .

в) Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Так как решаемое уравнение не содержит явно переменной , будем получать его решение с помощью введения новой переменной , откуда , так как в этом случае мы вычисляем производную сложной функции. Заданное уравнение в результате такой замены будет иметь вид: . Решение  является особым, и, делая обратную замену в этой ситуации, запишем: . Оставшееся уравнение  является уравнением в разделяющихся переменных: . Интегрируя последнее равенство, получим . Выразим теперь функцию : . Делая вновь обратную замену , получим: . В данном уравнении можно разделить переменные: . Интегрируя последнее выражение, получим . Получившаяся неявная функция также является решением заданного дифференциального уравнения.

Ответ. ; .

Задание 6. Решить уравнение .

Решение. Правая часть уравнения представляет собой дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Выпишем общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка . Так как корнями соответствующего характеристического уравнения  являются числа , то общее решение данного уравнения, как известно, имеет вид . Правая часть исходного уравнения  не позволяет найти частное решение  неоднородного уравнения методом подбора (или неопределенных коэффициентов) поэтому воспользуемся для его нахождения методом вариации произвольных постоянных. Поэтому будем искать частное решение   в виде: , предполагая, что здесь  и  (мы воспользовались видом найденной фундаментальной системы решений однородного уравнения), а  и решения следующей системы дифференциальных уравнений:

  таким образом .

Из второго уравнения выпишем . Проинтегрировав, получим  (постоянную интегрирования будем полагать равной нулю). Теперь, подставляя значение  в первое уравнение системы, получим дифференциальное уравнение для функции : . Вновь интегрируя, запишем: .

Таким образом, частное решение исходного уравнения имеет вид , выпишем общее решение неоднородного дифференциального уравнения

Ответ. .


Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле