Записать двойной интеграл Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода Обыкновенные дифференциальные уравнения Вычисление площадей плоских фигур Тройной интеграл Вычислить объем тела Замена переменных в тройном интеграле

Задача 8.7. а) Найти координаты центра тяжести плоской однородной пластины D, ограниченной линиями  

Решение. Считаем плотность однородной пластины  Тогда ее статические моменты относительно осей ОХ и ОУ определяются формулами: , а координаты ее центра тяжести  определяются формулами: , где  - масса однородной пластины D с плотностью   Применяя эти формулы, получаем:

,

  Тогда .

б) Доказать, что работа силы  зависит только от начального и конечного положения точки ее приложения и не зависит от формы пути. Вычислить работу при перемещении точки приложения силы из  в

Решение. Проверяем условие, достаточное для того, чтобы работа силы  по перемещению точки по дуге  не зависела от формы пути:

 ,

 , то есть .

При этом функции  непрерывны в любой односвязной области D, содержащей

Тогда, для вычисления работы А = находим криволинейный интеграл 2-го рода

  В силу независимости этого интеграла от пути интегрирования вычислим его вдоль ломаной  где точка :

Тогда

При вычислении криволинейного интеграла 2-го рода по  меняется от 0 до 1,  а при вычислении аналогичного интеграла по  а  меняется от 0 до 1.

Задача 8.8 а) Найти величину и направление наибольшего изменения поля   в точке

Решение. Доказано  (см. [1], [2], [5], [6]), что скалярное поле U(M) имеет в данной точке М0 максимальную производную по направлению ,  которая равна модулю градиента поля U в этой точке:

 

если за вектор , указывающий направление дифференцирования, взять направление вектора gradU(M0). Поэтому в задаче требуется найти сам вектор

 

Приведем соответствующие вычисления:

  ,

 ,

 ,

 

б) Выяснить, является ли векторное поле  потенциальным.

Решение. Векторное поле  потенциально, если в каждой точке М из области определения поля  Находим 

В этой формуле для удобства запоминания метода вычисления ротора использован формальный оператор Гамильтона «набла»:

 ,

действующий по правилу нахождения векторного  произведения в прямоугольных декартовых координатах.

 Для других типов полей, исследуемых в задании 8, приведем их определения:

Соленоидальное поле  в каждой точке М области V удовлетворяет условию

  .

Гармоническое поле  является в каждой точке области V одновременно потенциальным и соленоидальным, то есть  и 

В нашем случае  Тогда

  следовательно, поле  не является потенциальным.


Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле