Записать двойной интеграл Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода Обыкновенные дифференциальные уравнения Вычисление площадей плоских фигур Тройной интеграл Вычислить объем тела Замена переменных в тройном интеграле

Задание 2: Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.

а)

б)

Решение:

а)  Несобственный интеграл I рода.

 

{для нахождения интеграла применим формулу (2)}

  - интеграл расходится.

б) Несобственный интеграл II рода.

  является точкой разрыва подынтегральной функции, поэтому:

{для нахождения интеграла применим формулу (8)}

  - интеграл сходится.


Задание 3: Вычислить:

а)  площадь фигуры, ограниченной линиями:  и ;

б) длину дуги кривой:

 ,

в) объем тела, полученного вращением фигуры , вокруг оси 

 

Решение:

а) Существуют несколько формул для вычисления площадей плоских фигур.

Площадь фигуры, заданной в декартовой системе координат, ограниченной линиями  - сверху,  - снизу, слева прямой , справа прямой  определяется формулой  (14);

Площадь фигуры, ограниченной кривой заданной параметрически уравнениями   , определяется формулой  (15);

Площадь фигуры, заданной в полярной системе координат, ограниченной кривой   и лучами , , определяется формулой:  (16).

В нашем случае линии, ограничивающие фигуру, заданы в декартовых координатах, поэтому мы будем использовать формулу (14).

Найдем координаты точек пересечения линий:     

  .

;

 

б) В зависимости от способа задания уравнения кривой существуют следующие формулы нахождения длины дуги кривой.

Для кривой, заданной в декартовых координатах уравнением   длина дуги находится по формуле  (17);

Для кривой, заданной параметрически уравнениями    длина дуги находится по формуле  (18);

Для кривой, заданной в полярных координатах уравнением   длина дуги находится по формуле  (19).

В нашем случае кривая задана параметрически, поэтому для вычисления её длины мы применим формулу (18).

;

 


в) Пусть функция  непрерывна на отрезке . Тогда объём тела, полученного вращением вокруг оси  криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , снизу , определяется формулой:  (20).

Если криволинейная трапеция ограниченна графиком непрерывной функции  и прямыми , ,  , то объём тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси , по аналогии с формулой (20), равен:  (21).

В условиях нашей задачи , , .

.


Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле