Записать двойной интеграл Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода Обыкновенные дифференциальные уравнения Вычисление площадей плоских фигур Тройной интеграл Вычислить объем тела Замена переменных в тройном интеграле

Интегральное исчисление функции одной переменной

Образец решения варианта

Задание 1: Вычислить интеграл:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

и)

к)

л)

м)

н)

о)

п)

р)

с)

т)

у)

ф)


Решение:

а) Найдем интеграл, применив свойства неопределенного интеграла и формулы (1) и (2) табличного интегрирования:

 

  Интегралы (б – л) решим методом замены переменной.

б)  

{для нахождения интеграла применим формулу (2)}

в)   

{для нахождения интеграла применим формулу (12)}

г) 

{для нахождения интеграла применим формулу (4)}

д)   

{для нахождения интеграла применим формулу (2)}

е)   

{для нахождения интеграла применим формулу (5)}

ж) 

{для нахождения интеграла применим формулу (8)}

з)   

{для нахождения интеграла применим формулу (10)}

и) 

{для нахождения интеграла применим формулу (9)}

к)

{для нахождения интеграла применим формулу (3)}

л) 

{для нахождения интеграла применим формулу (7)}

Найдем интегралы (м – н) методом интегрирования по частям,

используя формулу  (13):

м)

{для нахождения интеграла применим формулу (6)}

н)

 {второе слагаемое вычислим с помощью замены, применив формулу (2)}

 

  в итоге получаем 

о) .

Под знаком интеграла правильная рациональная дробь. Разложим её на простейшие дроби:

Перейдем к равенству числителей:

.

Отсюда следует, что

 

Тогда

Интегрируя почленно полученное равенство и применяя свойства неопределённого интеграла, получим:

{для нахождения интегралов применим формулу (3)}

п)  .

Под знаком интеграла неправильная рациональная дробь. Выделим целую часть этой дроби путем деления числителя на знаменатель:

 

Выделим полный квадрат в знаменателе правильной рациональной дроби:

Возвращаясь к исходному интегралы, получим:

{для нахождения первых трёх интегралов применим формулу (2), для четвёртого – формулу (1), последний интеграл найдем c помощью формулы (7)}

 

р) .

Найдем интеграл используя универсальную тригонометрическую подстановку:

.

Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби:

Перейдем к равенству числителей:

.

Отсюда следует, что

Тогда .

Интегрируя почленно полученное равенство, получим::

{для нахождения интегралов применим формулу (3)}

с)  .

Произведем замену: 

Получим:

Наименьшее общее кратное знаменателей дробей  и  есть 4, поэтому введем следующую замену:

 

 

{для нахождения интегралов применим формулы (1) и (3)}

т) .

Найдем интеграл, используя формулу тригонометрических преобразований

Интегрируя почленно полученное равенство и применяя формулу (6), получим:

у) 

 

{для нахождения интегралов применим формулы (1) и (6)}

 ;

ф)

{для нахождения интеграла применим формулу (7)}


Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле