Исследовать функцию Вычислить предел функции Практикум по решению задач Изменить порядок интегрирования в интеграле Этот интеграл вычислим методом интегрирования Интегральное исчисление функции одной переменной

II способ решения (метод подстановки: метод Бернулли

Для отыскания общего решения данного дифференциального уравнения полагаем: , найдем , тогда данное уравнение

 преобразуется к виду .

Одну из вспомогательных функций  или  можно взять произвольно, то выберем в качестве v какой-либо частный интеграл уравнения  (1),

тогда для отыскания функции u(x) получим уравнение  (2).

Решаем уравнение (1): , найдем v(x), разделяя переменные ,

найдем простейшее частное решения, отличное от нуля, для этого уравнение проинтегрируем:

, С=0, .

Теперь при найденной v(x), решаем уравнение (2):

, но , значит

.

Зная u(x) и v(x) найдем искомое общее решение:

.

А затем поступая аналогично найдем значение C, используя начальное условие , тогда искомое частное решение:

.

Как видим, результат решения получен один и тот же, что и при I способе.

Ответ:  .

Замечание: Можно решить данное линейное дифференциальное уравнение методом вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа).

Задание 3.

3.

Решение:

Общее решение линейного неоднородного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения (уравнения без правой части)   и частного решения исходного неоднородного уравнения , т.е. результат решения данного дифференциального уравнения

1) В начале находим общее решение уравнения .

Составляем его характеристическое уравнение: , решаем это квадратное уравнение:

.

т.е. характеристическое уравнение имеет 2 различных вещественных корня.

Согласно формуле  находим общее решение соответствующего однородного уравнения:

2) Найдем теперь частное решение данного неоднородного дифференциального уравнения: yч.p.н.

Эта функция может быть найдена методом неопределенных коэффициентов (методом подбора) в том случае, когда его правая часть ,

тогда частное решение находят по формуле:

, где

r – кратность корней  (для дифференциальных уравнений второго порядка r = 0,1,2), N = max (n, m).

В данном дифференциальном уравнении правая часть , .

Т.к. ,

,

Степень многочлена  .

Корни   не кратны корням характеристического уравнения, значит .

Следовательно, , т.е. вид частного решения устанавливается по виду правой части данного уравнения.

Теперь надо найти коэффициенты A, B, C.

Для этого дифференцируем 2 раза  и подставляем в дифференциальное уравнение требуемые функции y, , .

, получаем равенство:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x из обеих его частей, ибо только при этом условии оно будет тождественным, получим систему уравнений:

,

 .

Подставим найденные коэффициенты в функцию: .

3) Искомое общее решение данного уравнения:

.

Ответ: .

Замечание: В общем случае для решения линейных неоднородных уравнений   применяется метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа). Этот метод достаточно сложен: связан с решением системы уравнений и вычислением интегралов. Поэтому в случаях, когда правая часть уравнения  имеет указанный вид, лучше задачу решать методом неопределенных коэффициентов.


Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах