Исследовать функцию Вычислить предел функции Практикум по решению задач Изменить порядок интегрирования в интеграле Этот интеграл вычислим методом интегрирования Интегральное исчисление функции одной переменной

Методические указания и решения примерных задач контрольной работы.

Задание 1.

1. Рассмотри уравнение

Найдём его общее решение, используя обозначение ; ; ; (переменные разделили).

Интегрируем уравнение  (C – произвольная постоянная интегрирования). Вычисляем интегралы, получим

 

 

Получим общее решение данного уравнения. Нетрудно проверить, что функция  удовлетворяет данному уравнению при любом значении С, при различных значения С получаем различные решения. Геометрически получаем семейство интегральных кривых в виде гипербол (график обратной пропорциональной зависимости).

Найдём частное решение, удовлетворяющее, например, начальному условию y=1, x=1. Подставим эти значения в функцию  , получим ; тогда  - частное решение данного уравнения, геометрически получена гипербола, проходящая через точку .

Найдём второе частное решение, удовлетворяющее условию . Поступая аналогично, получим уравнение , тогда частное решение , удовлетворяет начальному условию . Геометрически получена гипербола, проходящая через точку .

Таким образом, частным решением дифференциального уравнения  называется функция, которая получается из общего решения при определённом значении постоянной С.

Задание 2.

2.

Решение

Убедившись, что данное уравнение линейное, приведём его к виду: . Разделив левую и правую части данного уравнения на коэффициент при , равный sinx, получим ,

сравнивая с уравнением (*) имеем

I способ решения:

Применим формулу общего решения для таких уравнений:

подставим в эту формулу P(x) и Q(x) данного уравнения, получим .

Вычисляем сначала интегралы, стоящие в степени.

полагаем

тогда общее решение данного уравнения ,

далее при преобразовании общего решения используем формулу , при  (основное логарифмическое тождество), а также свойство логарифмов: .

тогда

.

Значит, общее решение данного уравнения имеет вид:  (**).

Теперь найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию . Для этого подставим в общее решение .

Тогда получим уравнение , но .

Значит, .

Найденное значение С подставим в общее решение, тогда получим искомое частное решение:

.

Ответ:  .


Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах