Исследовать функцию Вычислить предел функции Практикум по решению задач Изменить порядок интегрирования в интеграле Этот интеграл вычислим методом интегрирования Интегральное исчисление функции одной переменной

УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАНИЯ 5

 Все задачи решаются по одной схеме. Пусть дана функция .

  1. Находим область определения .

 2. Находим точки разрыва функции. Определим характер разрыва, уточнив поведение функции в окрестности точки разрыва . Для этого найдем . Если  - точка разрыва второго рода, то прямая  будет вертикальной асимптотой графика функции.

 3. Находим точки пересечения графика с осями координат, для чего решаем системы уравнений: .

 4. Проверяем условия четности функции:  и нечетности 

. Если функция четная (или нечетная), то все последующие исследования проводим при  .

 5. Аналогично: если  - периодическая функция с периодом Т, то исследование проводим при .

 6. Находим первую и вторую производные . Эту работу надо

выполнять очень аккуратно, иначе график будет построен неверно.

 7. Находим экстремумы и промежутки монотонности функции.

 8. Находим точки перегиба и промежутки выпуклости и вогнутости графика функции.

 9. Находим наклонные асимптоты , где ; . Каждый из случаев:  надо рассмотреть отдельно (асимптоты могут быть различными).

  10. По результатам исследования составляем сводную таблицу и строим график функции.

  11. По графику функции  строим графики ее первой и второй производных.

  Замечание 1. Построение графика функции  рекомендуется проводить параллельно с исследованием.

  Замечание 2. Если полученной в результате исследований информации недостаточно для построения графика функции, можно построить несколько точек графика, придавая аргументу х допустимые значения.

 Пример 1. Исследовать функцию  и построить ее график (рис.4).

 Решение. 1. .

 2. Функция терпит разрыв второго рода в точках  , так как  и , . Следовательно,  - уравнения вертикальных асимптот. Строим эти асимптоты.

  3. Находим точки пересечения графика с осью ОХ, для чего решаем систему уравнений  . Кривая пересекает ось ОХ в точках  и .

 Замечание. Если решение уравнения  вызывает большие затруднения, то этого можно не делать. Для построения графика нужно выбрать несколько дополнительных точек.

  Аналогично . Получаем точку .

 4. . Функция четная, поэтому исследуем ее поведение в области .

 5. Функция непериодическая.

  6. Находим производные функции .

 7. Находим экстремумы функции. Для этого найдем сначала критические точки. Из уравнения  следует, что . Так как вторая производная известна, то характер экстремума определяем по второму правилу. , поэтому при  функция имеет максимум, равный . Итак, точка - точка максимума.  не существует при , но . На  функция убывает, на  функция убывает.

 8. Находим точки перегиба графика из уравнения , у нас , следовательно, кривая не имеет точек перегиба. В промежутке , следовательно, кривая выпуклая. В промежутке , поэтому кривая вогнута.

  9. Находим уравнение  наклонной асимптоты.

  ; 

  . Итак,  - горизонтальная асимптота  кривой.

 10. В свободную таблицу вносят точки, полученные при исследовании функции в порядке возрастания аргумента х, а также дополнительные точки, если полученных недостаточно для построения графика функции:

 х

 0

 1

 

 2

 3

 4

 у

 

 0

 

 

 

 

 

 

 Примечание

Точка макси-мума, точка

пересечения

с ОУ

Точка пересе-

чения с ОХ

Точка разрыва

 

 

 Дополнительные точки

Строим график функции в промежутке  . Так как функция четная, то в про-межутке  ее график строим по симметрии относительно оси ОУ (см. рис.4).


Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах