Исследовать функцию Вычислить предел функции Практикум по решению задач Изменить порядок интегрирования в интеграле Этот интеграл вычислим методом интегрирования Интегральное исчисление функции одной переменной

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ РИМАНА.

Изменить порядок интегрирования в интеграле .

, и правильная в направлении Ox область D ограничена линиями x=y, x=2 – y, y=0, y=1 (линия y =1 выродилась в точку) (рис. 7). Эта область является правильной и в направлении Oy. Так как участок OAB границы состоит из отрезков прямых  и , то, где ,

. Итак, = =  =.

5. Вычислить  по области D, ограниченной линиями  и .

Ñ Изобразим область D. Для отыскания точек пересечения парабол  и  решаем уравнение  , откуда имеем действительные корни , . Таким образом, параболы пересекаются в точках . Рассматривая D как правильную в направлении Oy (рис. 8а), имеем . По формуле

а)

=

Если область D рассматривать как правильную в направлении Ox (рис. 8б), то . По формуле

= =.

6. Записать в полярной системе координат область S , заданную в декартовой системе координат неравенством (круг радиуса R с центром в точке ).

Ñ Перейдем от декартовых координат x, y к полярным  по формулам ,  . Подставим x и y в исходное неравенство, получим:  или . На координату j дополнительных ограничений не накладывается, поэтому  (или ).

В полярной системе координат круг записывается неравенствами: .

7. Записать в полярной системе координат область S - часть круга, ограниченную линиями , ,  (),  — постоянные, .

Ñ Изобразим область S (рис. 9). Запишем заданные линии в полярных координатах, которые связаны с декартовыми формулами , : 1)

2) , ;

3)

Область  переходит в область .

В полярной системе координат заданная область определяется системой неравенств: .

8. Вычислить двойной интеграл , S - множество точек, удовлетворяющих неравенству .

Ñ Границей области является линия  или  - окружность радиуса 2 с центром в точке  (рис. 10).

Наличие в уравнении границы комбинации  наводит на мысль, что для вычисления двойного интеграла удобно перейти к полярным координатам  по формулам , , . Уравнение границы  переходит в уравнение  или . Отсюда r=0 (соответствует полюсу O) и - уравнение окружности. Так как всегда  (по смыслу r), то из  следует , отсюда получаем  (этот же результат можно усмотреть из рисунка). Итак, в полярных координатах область интегрирования есть . Тогда по формуле

.


Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах