Исследовать функцию Вычислить предел функции Практикум по решению задач Изменить порядок интегрирования в интеграле Этот интеграл вычислим методом интегрирования Интегральное исчисление функции одной переменной

УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАНИЯ

 Пример 1. В каких точка парабола  имеет наибольшую и наименьшую кривизну? Найти  центр и радиус кривизны в этих точках.

 Решение. Если кривая L задана явно: , то ее кривизна k в точке

   определяется по формуле . В данном примере , поэтому . Найдем точки, в которых функция  имеет экстремумы.

  при .

 Нетрудно видеть, что в этой точке производная  изменяет знак с плюса на минус, следовательно,  есть точка максимума, причем . Итак, в точке О (0, 0) парабола   имеет наибольшую кривизну . В этой точке радиус R кривизны равен . Координаты  центра круга кривизны определяются по формулам: , причем верхние знаки соответствуют тем точкам кривой , в которых . Для параболы  в точке О (0,0) , следовательно, в формулах берем нижние знаки . Итак,  - центр кривизны.

 Пример 2. Определить кривизну, центр и радиус кривизны кривой   в точке 

 Решение. Если кривая L задана полярным уравнением , то ее кривизна в точке  определяется по формуле . В данном примере . В данной точке  находим . Тогда получим , радиус кривизны . Обозначим центр круга кривизны , координаты центра будем вычислять по формулам:

 ,

 ,

  ,

 

  в точке .

 


 С 0 1 

 

УКАЗАНИЕ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАНИЯ 4

 Пример. Дано уравнение движения  .

 Найти: а) траекторию движения; б) скорость и ускорение движения в момент времени ;  в) кривизну траектории при .

  Решение. а) Траекторией движения является годограф вектор-функции . Параметрическими уравнениями траектории будут , . В момент времени  получим точку  траектории.

 б) Скорость движения есть вектор , а ускорение . При  , соответственно .

 в) Кривизна пространственной кривой L определяется по формуле . Здесь . Найдем векторное произведение этих векторов

,

,

.

Итак, кривизна траектории в момент времени t > 0 определяется формулой: .

При  .


Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах