Исследовать функцию Вычислить предел функции Практикум по решению задач Изменить порядок интегрирования в интеграле Этот интеграл вычислим методом интегрирования Интегральное исчисление функции одной переменной

Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности  в точке М(2,4,6).

Ñ Обозначив через   левую часть уравнения поверхности, найдем
       По формуле (7.2) имеем уравнение касательной плоскости  или . По формулам (7.3) находим уравнения нормали в параметрической форме , отсюда можно получить канонические  уравнения нормали .

16. Исследовать на экстремум функцию .

Ñ Из необходимого условия экстремума функции (теорема 9.7) имеем систему  решая которую получаем критические точки  . Определим характер критических точек по достаточным условиям экстремума. Находим  . В точке : , , Следовательно, - седловая точка. В точке :  , , поэтому - точка минимума функции z; .

17. Найти наибольшее и наименьшее значения функции  в области D, заданной неравенствами .

Ñ Область D ограничена частью параболы  и отрезком прямой x = 4 (рис.9.3). 1) Находим критические точки из необходимого условия экстремума функции:  Решение системы: x =32,5, y = –13. Найденная критическая точка  не принадлежит D.

2) Исследуем функцию на границе. а) На участке . Функция  сводится к функции одной переменной  .Находим критические точки функции : . На  x = 4 и точки . б) На линии  . Функция  сводится к функции , . Находим критические точки функции : , , , , . На   и получаем точки , .

3) Вершины ломаной в точках  и . 4) Вычисляем значения функции f в точках  , , , . Итак, , .

18. Функцию  разложить по формуле Тейлора в окрестности точки(2,-1).

Ñ Имеем . Вычислим последовательно частные производные данной функции: ,

.

Все последующие производные тождественно равны нулю. Значения производных в точке (2,-1):

. По формуле (7.4) получаем искомое разложение

.

19. Функцию  разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (1;1) до членов второго порядка включительно.

Ñ Имеем . В соответствии с формулой (7.4) вычислим производные 1-го и 2-го порядков данной функции и их значения в точке (1,1).

,,

  . По формуле (7.4) имеем , где .


Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах