Исследовать функцию Вычислить предел функции Практикум по решению задач Изменить порядок интегрирования в интеграле Этот интеграл вычислим методом интегрирования Интегральное исчисление функции одной переменной

Практикум по решению задач

1. Найти и изобразить область определения функций:

а) ; б) .

Ñ а) функция определена, если x и y удовлетворяют системе неравенств (которую последовательно решаем)   Следовательно, область определения множество точек   .Область определения изображена на рис. 1.

б) функция определена, если x и y удовлетворяют системе неравенств

 

Область определения получается пересечением множеств:  - множество точек «под» параболой , включая саму параболу; - внутренность круга радиуса 1 с центром в точке , - вся плоскость Oxy, исключая точку .

Итак,   (рис. 2).

2. Вычислить пределы:а) , б)

Ñ а) Пусть точка M(x,y) из окрестности точки M0(0,0) стремится к точке М0 по прямой  y=kx ( проходящей через точки М0 и М). Тогда из  следует  и . Пределы получаются разными при различных «k» и не существует числа A, к которому значения  становились бы сколь угодно близки, как только точка M(x,y) оказывается в достаточной близости от точки M0(0,0). Предел данной функции при M®M0(0,0) не существует.

б) =½находим предел вдоль луча y=kx (k>0, ) при x®span style='font-family:Symbol'>¥span style='font-family:Symbol'>½=½применим правило Лопиталя два раза½=

 – предел существует и равен нулю.

3. Найти точки разрыва функций: а)  б)

Ñ а) Область существования функции  есть множество точек плоскости Oxy, координаты которых удовлетворяют условию  или - внутренность круга радиуса  с центром в точке O (0;0). Функция  не определена в точках, в которых знаменатель обращается в нуль, т.е. , отсюда  или . Таким образом, функция z(x,y) разрывна на окружности .

б) Функция u(x,y,z) не определена в точках, в которых знаменатель обращается в нуль. Поэтому в пространстве Oxyz точки разрыва  функции образуют поверхность – конус.

4. Найти частные производные первого и второго порядков от функции .

Ñ Считая последовательно постоянной “y”, затем “x”, и применяя правило дифференцирования сложной функции, получим: ,

. Дифференцируя вторично, получим:

,

,

,

.

5. Найти полное приращение и дифференциал функции  в точке .

Ñ По формуле (5.1)   =.

 Дифференциал df есть главная часть полного приращения, линейная относительно .

6. Найти дифференциал функции .

Первый способ. По формуле (5.4): ,

.

Второй способ. Применяем правила дифференцирования (5.5):

+

.

7. Найти дифференциалы 1-го, 2-го и 3-го порядков для функции .

Ñ По формуле (5.4): . По формуле (5.6) при m = 2 и m = 3, считая dx и dy постоянными, последовательно находим (смешанные частные производные не зависят от порядка дифференцирования):

=

8. Найти , если , где .

Ñ По формуле (6.1) имеем   .

9. Найти производную функции .

Ñ Первый способ – применить логарифмическое дифференцирование, как делалось для функции одной переменной.

Второй способ. Функция u(t) есть результат образования сложной функции при подстановке в функцию  вместо x и y двух одинаковых функций переменой t:  . Тогда по формуле (6.1):  + получаем = + .

10. Найти  и , если , где y = sin2x.

Ñ Имеем . По формуле (6.2) получим = .

11. Найти , если , где , .

- сложная функция от независимых переменных x и y. Тогда по формулам (6.3) получим: ;

,

,

.

12. Найти , если .

 и по формуле (6.4) получаем  =. В нашем случае x0 = 0. Непосредственной подстановкой убедимся, что точка  принадлежит графику функции, т.е. . Поэтому .

13. Найти , если .

ÑЛевую часть данного уравнения обозначим . По формуле (6.5) получим:, .

14. Вычислить приближенно .

Ñ Искомое число будем рассматривать как значение функции  при  и , если . Точка  выбрана из соображений близости ее к точке  и простоты вычисления значений функции f и ее частных производных в точке М. По формуле (7.1) имеем .

Находим  . Следовательно,  .


На http://splet.spb.ru доставка обедов в офис.
Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах