Исследовать функцию Вычислить предел функции Практикум по решению задач Изменить порядок интегрирования в интеграле Этот интеграл вычислим методом интегрирования Интегральное исчисление функции одной переменной

ЗАДАЧА 16

Постановка задачи: Вычислить предел , где ,

План решения:

1. Чтобы воспользоваться планом решения задачи 16 нужно, чтобы аргумент стремится к нулю. Введем новую переменную , и будем искать предел при

2. Воспользуемся схемой задачи 16

Пример: Вычислить предел

Решение:

При   выражение под знаком предела представляет собой степень, основание которой стремится к единице, а показатель – к бесконечности.

1. Введем новую переменную

Преобразуем выражение под знаком предела к виду

2. Поскольку показательная функция  непрерывна, то можно перейти к пределу под знаком этой функции. Имеем

Заменяя бесконечно малые величины эквивалентными

Имеем

Ответ:

Практикум по решению задач

Пределы

Примеры решения заданий

1. Доказать, что  (указать ), где .

Решение. По определению число  называется пределом числовой последовательности , если , такой, что  выполняется неравенство

Выберем произвольное число . Тогда

  и неравенство  будет выполнено в точности тогда, когда , т.е. , откуда . Положив , получим, что для всех  справедливо неравенство . В соответствии с определением предела это и означает, что .

2. Вычислить предел числовой последовательности: .

Решение. В таких примерах делят числитель и знаменатель на старшую степень n. В числителе она 2, а в знаменателе 1. Поэтому числитель и знаменатель разделим на . В результате получим

Ответ:

3. Вычислить предел: .

Решение. Разделим числитель и знаменатель на старшую степень n, т.е. на . Тогда . Поэтому

 .

Ответ:  .

4. Вычислить предел: .

Решение. В этом примере получаем неопределенность вида . Чтобы избавиться от неопределенности умножим и разделим выражение под знаком предела на сопряженное к нему и воспользуемся формулой разности квадратов.

Поэтому .

Ответ:

5. Вычислить предел: .

Решение. .

Числитель дроби, стоящей под знаком предела, является арифметической прогрессией, сумма которой равна . Поэтому

.

Ответ: .

6. Вычислить предел: .

Решение. В данном случае имеем неопределенность вида .

.

Ответ: .

7. Доказать (найти ), что: .

Решение. Зафиксируем произвольное >0. Требуется по этому  найти такое >0, чтобы из условия  вытекало бы неравенство . То есть

 

Отсюда получим, что если , то . То есть в качестве  можно взять . Поэтому .

8. Доказать, что функция  непрерывна в точке  (найти ): .

Решение. Покажем, что при любом  найдется такое , что  при .

. Покажем, как для произвольного положительного действительного числа , найти такое положительное число , что , если .

Так как  и нас интересует поведение функции в окрестности точки , то, не нарушая общности, будем считать, что рассматриваются только точки х такие, что . Тогда , а . Поэтому, для рассматриваемых х справедливы соотношения

.

Но, если  (то есть ), то и . Пусть . Тогда, если , то . Значит функция  непрерывна в точке

9. Вычислить предел функции: .

Решение. Так как пределы числителя и знаменателя при  равны нулю, то мы имеем неопределенность вида . "Раскроем" эту неопределенность, разложив числитель и знаменатель на множители и сократив их далее на общий множитель  (сокращать на  можно, потому что при нахождении предела мы считаем, что  ):

.

В полученной дроби знаменатель уже не стремится к нулю при , поэтому можно применять теорему о пределе частного:

.  Ответ:


Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах