Записать двойной интеграл Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода Обыкновенные дифференциальные уравнения Вычисление площадей плоских фигур Тройной интеграл Вычислить объем тела Замена переменных в тройном интеграле

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Положим . Эта функция удовлетворяет всем требованиям интегрального признака Коши. Несобственный интеграл

,

т.е. сходится, а значит, данный ряд тоже сходится.

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Нетрудно проверить, что . Кроме того, . По признаку Лейбница данный ряд сходится. Нужно выяснить, будет ли ряд сходиться абсолютно. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда . Сравним этот ряд с гармоническим рядом по предельному признаку сравнения , следовательно, ряд из модулей расходится, а данный ряд сходится условно.

Ряд, членами которого являются функции, называется функциональным рядом  (7)

При определенном значении аргумента  ряд (7) превращается в числовой ряд . Областью сходимости ряда (7) называется множество тех значений , при которых ряд сходится.

Пример. Функциональный ряд  сходится в точке  ибо при этом имеем ряд , представляющий геометрическую прогрессию со знаменателем . При  получим расходящийся ряд . Вообще, данный ряд сходится при   и расходится при . Интервал  является областью сходимости ряда.

Степенным рядом называется ряд вида

   (8)

где  – числа, называемые коэффициентами ряда. При  получаем ряд . Областью сходимости степенного ряда является интервал (замкнутый или открытый, или полуоткрытый) с центром в точке ; длина интервала равна , где – радиус сходимости.

Ряд   сходится абсолютно в любой точке интервала  и расходится при всех , удовлетворяющих неравенству . На концах интервала сходимости требуется специальное исследование.

Пример. Найти область сходимости степенного ряда .

Решение. Применяя признак Даламбера к ряду из абсолютных величин , получаем . Следовательно, ряд сходится при  , или при . При  получаем числовой ряд , который расходится, т.к. его члены больше членов расходящегося гармонического ряда, а при  получаем знакочередующийся ряд , сходящийся по признаку Лейбница. Область сходимости данного ряда .


Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле