Записать двойной интеграл Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода Обыкновенные дифференциальные уравнения Вычисление площадей плоских фигур Тройной интеграл Вычислить объем тела Замена переменных в тройном интеграле

ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

Числовым рядом называется выражение

   (1)

где   – числа, называемые членами ряда.

Сумма   первых членов называется n-й частичной суммой ряда

.

В частности, .

Каждому числовому ряду соответствует последовательность  его частичных сумм. Если существует конечный предел

,

то число  называется суммой ряда (1), а ряд (1) называется сходящимся. Если последовательность  не имеет конечного предела, то ряд (1) называется расходящимся.

Пример.  Рассмотрим ряд

Члены ряда образуют геометрическую прогрессию со знаменателем  и первым членом   

При , значит ряд расходится.

При  . Найдем .

При   

и, следовательно, ряд сходится к сумме .

При   ряд расходится, т.к. предел

.

При   ряд расходится, т.к. предел   не существует.

При :  следовательно, предел  не существует и ряд расходится.

При исследовании рядов одним из основных вопросов является вопрос о том, сходится данный ряд или расходится.

Необходимый признак сходимости ряда. Если числовой ряд (1) сходится, то .

Необходимый признак применяется для доказательства расходимости ряда: если -й член ряда не стремится к нулю при , то ряд расходится.

Пример. Ряд  расходится, так как имеем , .

Ряд   называется гармоническим и является расходящимся рядом, для которого необходимое условие сходимости выполнено, т.е. необходимый признак не является достаточным.

Приведем несколько достаточных признаков сходимости знакоположительных рядов, т.е. рядов, все члены которых положительны.

Признак сравнения. Если даны два знакоположительных числовых ряда

  , (2)

  , (3)

 и выполняется , то:

– если ряд (3) сходится, то (2) сходится;

– если ряд (2) расходится, то и ряд (3) расходится.


Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле