Записать двойной интеграл Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода Обыкновенные дифференциальные уравнения Вычисление площадей плоских фигур Тройной интеграл Вычислить объем тела Замена переменных в тройном интеграле

Криволинейный интеграл по координатам (криволинейный интеграл второго рода)

Рис5

Если   – график функции , , то криволинейный интеграл по кривой   при перемещении из точки   в точку  равен

  .

Если кривая  задана в пространстве параметрическими уравнениями  и , то

.

Кроме обычных свойств интеграла отметим, что при изменении направления интегрирования криволинейный интеграл меняет знак на противоположный

.

Криволинейный интеграл II рода численно равен работе, которую совершает переменная сила  на криволинейном пути .

Пример. Найти работу силы  при перемещении по линии  от точки  к точке .

 Решение. .

.

Если путь интегрирования простая замкнутая кривая , то криволинейный интеграл обозначают  и вычисляют в направлении против часовой стрелки. Такой интеграл называют циркуляцией.

Связь между двойными и криволинейными интегралами.

Формула Грина.

Пусть   – граница односвязной области . Функции  и их частные производные  и  непрерывны в замкнутой области  (включая ее границу ), тогда имеет место формула Грина, которая устанавливает связь между двойным интегралом по некоторой области  и криволинейным интегралом по границе   этой области:

.

Пример. Вычислить непосредственно и по формуле Грина криволинейный интеграл  если  – контур треугольника с вершинами в точках

Рис13

Решение. Вычислим непосредственно криволинейный интеграл:

.

  .

(BC) – прямая, проходящая через 2 точки, имеет уравнение:

  или .

.

  .

 .

Вычислим интеграл по формуле Грина, для этого найдем частные производные

  .

 .

Итак, мы получили тот же результат:

 .


Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле