Исследовать функцию Вычислить предел функции Практикум по решению задач Изменить порядок интегрирования в интеграле Этот интеграл вычислим методом интегрирования Интегральное исчисление функции одной переменной

Пример 14. Доказать, что

 Решение. Покажем, что при любом  

Действительно, это неравенство равносильно неравенствам

     

  

Последнее неравенство верно, поскольку последовательность

убывает(см. пример ) и её предел равен  Тогда

Поскольку  то  и

 

Пример 15. Для нахождения   применяется следующий процесс:  произвольно,

   (8)

Доказать, что

 Решение. Из известного неравенства , связывающего среднее арифметическое и среднее геометрическое двух неотрицательных чисел, получаем, что для любого   Теперь убедимся в том, что последовательность  не возрастает. Действительно, неравенство  то есть , равносильно . В справедливости последнего неравенства мы убедились выше. По теореме Вейерштрасса последовательность  имеет предел , который находим, переходя в (8) к пределу: 

Пример 16. Последовательность  определяется следующим образом:

  Найти .

Решение. Оценим разность между  и числом , являющимся корнем уравнения . Применяя полученное неравенство к разности  и т.д., получим .

Поскольку , то  и .

 Предел функции

Пусть Е- некоторое непустое подмножество множества R действительных чисел,   – предельная точка множества Е, - функция, определённая на Е.

 Определение. Число  называется пределом функции  в точке , если 

 d>0  d Þ e). (9)

Предел функции в точке  обозначается символом . Во всех рассматриваемых далее примерах функция определена в некоторой проколотой окрестности точки , поэтому мы будем использовать символ . Определение предела в случае  аналогично приведённому ( его можно найти в учебнике или конспекте лекций).

Определение. Функция  есть бесконечно малая при , если

Функции   и называются эквивалентными (f ~ g) при , если в некоторой проколотой окрестности точки а выполнено соотношение , где .

Определение. Функция  есть бесконечно малая относительно  при , если в некоторой проколотой окрестности точки а выполнено соотношение , где   При этом пишут Если при этом g- бесконечно малая, то говорят, что f есть бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с g.

Справедливы следующие предложения.

(f(х) ~ g(х)) при .

(f(х) ~ g(х)) при

Последнее правило не распространяется на суммы и разности функций, кроме отдельных случаев, например

3. Если f(х) ~ах  и g(х) ~bх и  , то (f(х) - g(х)) ~(а- b)х.

При вычислении пределов функций полезно использовать таблицу эквивалентных бесконечно малых величин при  :

1. sinx~x , ,

2. arcsinx~x, arcsinx =x+o(x),

3. tgx~x , tgx=x+o(x),

4. arctgx ~x, arctgx=x+o(x),

5.   ~x , ,

6.   ~xlna, ,

7.   ~x , ,

8. ~,

9. ~,

10. 1-cosx~, .

Пример 17. Доказать (найти d(e)), что .

 Решение. Заметив, что квадратный трёхчлен  имеет корни  и , упростим исходное выражение:

.

Тогда соответствующая часть формулы (9) из определения предела функции принимает вид e. Это неравенство будет выполняться, если . Следовательно, можно взять .


Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах