Курс лекций по математике

Лекции
Физика

Контрольная

На главную
Электротехника

В учебном пособии приводятся способы нахождения точных решений различных типов дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка и методы приближенных решений обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными. Каждый раздел пособия содержит теоретическое описание метода, образцы решения задач и набор задач для самостоятельного решения. Даются три типовых расчета: по методам решений дифференциальных уравнений с частными производными, а также по приближенным и вариационным методам. Теоретические выкладки снабжены практическими примерами. 

Вывод уравнения колебания струны В математической физике под струной понимают гибкую упругую нить. Напряжения, возникающие в струне в любой момент времени, направлены по касательной к ее профилю. Пусть струна длиной l в начальный момент направлена по отрезку оси Ox от 0 до l.

Задача Коши Найти решение уравнения (2) для бесконечной области  удовлетворяющее в области  начальным условиям (3), (4). Граничные условия отсутствуют.

Использование метода Фурье при решении первой краевой задачи

Метод Фурье для решения второй краевой задачи

Найти решение уравнения  при следующих условиях: . (Вторая краевая задача).

Уравнения параболического типа

Решение первой краевой задачи методом Фурье

Линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной

Общее решение уравнения теплопроводности

Распространение тепла в неограниченном стержнет Пусть в начальный момент задана температура в различных сечениях неограниченного стержня. Требуется определить распределение температуры в стержне в последующие моменты времени. К задаче распространения тепла в неограниченном стержне сводятся физические задачи в том случае, когда стержень столь длинный, что температура во внутренних точках стержня в рассматриваемые моменты времени мало зависит от условий на концах стержня.

Примеры решения задач Найти решение уравнения , , , удовлетворяющее начальным условиям

Решить уравнение  для следующего начального распределения температуры стержня

Уравнения эллиптического типа

Потенциальное течение жидкости или газа. Уравнение неразрывности

Потенциал стационарного электрического тока Пусть в однородной среде, заполняющей некоторый объем V, проходит электрический ток, плотность которого в каждой точке дается вектором . Предположим, что плотность тока не зависит от времени t. Предположим далее, что в рассматриваемом объеме нет источников тока.

Задача Дирихле для круга

Найти стационарное распределение температуры на тонкой однородной круглой пластине радиусом R, верхняя половина которой поддерживается при температуре 1°, а нижняя – при температуре 0°.

Найти стационарное распределение температуры на однородной тонкой круглой пластинке радиусом R

Одним из аналитических методов приближенного решения дифференциальных уравнений является метод Пикара.

Построить последовательность пикаровских приближений решения дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

Геометрический смысл метода Эйлера

Оценка погрешности и точность вычислений Оценить остаточный член метода Рунге-Кутта очень сложно, следует только отметить, что если  непрерывна и ограничена со своими производными до четвертого порядка и эти производные не очень велики, то с уменьшением шага сетки приближенное решение сходится к точному равномерно и остаточный член примерно равен .

Методом Эйлера найти три значения функции y, определяемой уравнением , при начальном условии , полагая  .

Пример. Найти приближенные значения решения уравнения , удовлетворяющего начальному условию  при . Значения решения определить при х = 0,1; 0,2; 0,3; 0,4.

Приближенный метод интегрирования систем дифференциальных уравнений первого порядка

Найти приближенные значения  и  решений системы уравнений

Метод итераций

Пример. Методом сеток найти решения задачи

Метод прогонки для уравнения теплопроводности

Решение уравнения движения грунта Пусть одномерное перемещение частиц пластически сжимаемого грунта происходит параллельно оси x

В данном разделе рассматриваются такие геометрические объекты, как линии, поверхности и т.п. Исследование этих объектов заменяется исследованием их координат, представленных в виде уравнений. В начале раздела приводятся необходимые сведения из векторной алгебры.

Базис и разложение векторов

Скалярное произведение векторов Углом между двумя векторами называется часть плоскости между их лучами, если вектора приложить к одной точке

Определители 2-го и 3-го порядка Таблица, составленная из четырех элементов, выстроенных в два ряда и два столбца: , называется квадратной матрицей второго порядка.

Пример. Вычислить координаты вектора , если известны декартовы координаты:   и .

Задача Найти , если  и , где , , угол . Решение: Для решения необходимо знать длину векторов, что нам неизвестно, но даны данные по базису, поэтому перейдем от исходных векторов к базисным, подставим в формулу  выражения разложения векторов по базису:

Элементы линейной алгебры Определители второго порядка

В учебном пособии приводятся способы нахождения точных решений различных типов дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка и методы приближенных решений обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными. Каждый раздел пособия содержит теоретическое описание метода, образцы решения задач и набор задач для самостоятельного решения. Даются три типовых расчета: по методам решений дифференциальных уравнений с частными производными, а также по приближенным  и вариационным методам. Теоретические выкладки снабжены практическими примерами. 

Вычислить площадь параллелограмма, две стороны которого образованы векторами , , .

Аналитическая геометрия Уравнение линии Рассмотрим декартовую систему координат на плоскости.

Примеры решения типовых задач: прямая на плоскости Задача Составить общее уравнение прямой, проходящей через точки (1,2) и (-2,3).

Уравнение плоскости Пусть в декартовой системе координат имеется некоторая плоскость, проходящая через точку , ее радиус-вектор будет иметь координаты . Зададим на этой же плоскости точку  с радиус-вектором . Очевидно, что вектор   также будет находиться в заданной плоскости

Примеры решения типовых задач: уравнение плоскости Задача Написать уравнение плоскости, проходящей через точку  параллельно плоскости .

Прямая в пространстве образуется пересечением двух плоскостей (если их нормали не параллельны), таким образом, прямую в пространстве можно задать системой уравнений

Кривые второго порядка

Примеры решения типовых задач: кривые второго порядка Задача Найти центр и радиус окружности, заданной уравнением .

Контрольная работа При выполнении контрольных заданий обязательно указывать название темы и номер задания, даже если задание не выполнено.

Пример выполнения контрольной работы Задание. Определить скалярное произведение  векторов, если , , , , .

Линейная алгебра В данном разделе рассматриваются такие объекты, как матрицы и действия над ними, а также определители, которые затем используются для решения систем линейных уравнений.

Пример . Найти сумму матриц  и , где , .

Пример. Вычислить определитель матрицы 2-го порядка: .

Пример . Вычислить определитель из предыдущего примера Решение: Задача состоит в том, чтобы получить как можно больше нулей в какой-нибудь из строк или столбцов, и, затем разложить по этой строке (столбцу) определитель. Получим нуль в первой строке в первом столбце. Для этого умножим элементы четвертого столбца на (-1) и сложим с элементами первого столбца, при этом определитель не изменится

Ранг матрицы

Примеры решения типовых задач: матрицы

Решение систем линейных уравнений Определители используются при решении систем линейных уравнений. Произвольная система линейных уравнений имеет вид:

Матричный метод Пусть дано матричное уравнение: , где  и  - заданные матрицы, причем матрица  – невырожденная. Требуется найти матрицу .

Произвольная система линейных уравнений

Примеры решения типовых задач: системы линейных уравнений Задача. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Задание. Выполнить действия с матрицами: .

Вычислить определитель матрицы: . Решение. Преобразуем определитель так, чтобы в первой строке все элементы стали нулевыми, за исключением элемента, расположенного в первом столбце. Для этого умножим все элементы первого столбца на (-2) и сложим с соответствующими элементами второго столбца

Найти общее и одно из частных решений системы линейных уравнений: .

Для таблично заданной функции (xi, yi) = f(xi), i =0,...,6, решить следующие задачи (далее будем эту функцию обозначать f(x)).

Ядерные реакторы

Сети