МОЛЕКУЛЯРНАЯ  ФИЗИКА Термодинамика Электромагнитная индукция Радиоактивность. Элементы физики ядра Молекулярная физика и термодинамика Постоянный ток

Пример 8. Напряженность поля тонкой бесконечно длинной заряженной нити (или цилиндра)

Нить можно отнести к тонкой, если ее радиус много меньше расстояния, на котором определяется напряженность, а к бесконечно длинной – если длина нити значительно больше этого расстояния. Найдем напряженность поля равномерно заряженной с линейной плотностью t тонкой бесконечной нити в точке А на расстоянии а от нити. Вспомогательную поверхность, которая должна охватывать заряд, в данном случае удобно выбрать в виде цилиндра радиусом а и длиной l. Ось вспомогательного цилиндра совпадает с нитью. Линии напряженности направлены по радиусам от оси цилиндра, если нить заряжена положительно, и к оси, если заряд нити отрицателен.

Площадь вспомогательной поверхности складывается из площадей торцевых и боковой поверхностей цилиндра (рис.11). Но поток вектора напряженности через торцевые поверхности равен 0 (линии напряженности не пересекают эту поверхность).

Поток вектора напряженности пересекает только цилиндрическую поверхность:

,

здесь 2pа×l – площадь боковой поверхности цилиндра. Заряд внутри цилиндра (сосредоточен на отрезке нити, длиной l) в случае, если нить заряжена равномерно, равен Q=t×l. Применяя теорему Гаусса, получим:

.

 Напряженность поля в точке А:

.

Таким образом, напряженность поля тонкой бесконечной заряженной нити пропорциональна линейной плотности заряда на нити и обратно пропорциональна расстоянию от нити.

Самостоятельно примените теорему Гаусса для нахождения напряженности поля бесконечной заряженной плоскости. Какую здесь следует выбрать вспомогательную поверхность?

Пример 9. Напряженность поля, создаваемого заряженной нитью конечной длины в точке, находящейся от нее на расстоянии, сравнимом с длиной нити.

Рассмотрим решение этой задачи на примере: на тонкой нити длиной l0 равномерно распределен положительный заряд с линейной плотностью t. Найти напряженность поля в точке А, расположенной против середины нити на расстоянии а от нее. В данном случае надо воспользоваться тем же приемом, что и при определении силы, действующей со стороны распределенного заряда на точечный заряд. Выберем бесконечно малый элемент нити dl. Заряд dQ этого элемента при линейной плотности заряда нити t равен:

 

(а)

Расстояние от элемента dl до точки А обозначим через r, угол между   и перпендикуляром, восстановленным из точки А на нить – через a, а углы между перпендикуляром и направлениями на концы нити – через a1 и a2 (рис. 12,а).


Оси координат введем так, как показано на рис. 12. Элементарный вектор  будет направлен по прямой, соединяющей  dl и точку А, т.е. под углом a к оси x. Поскольку заряд нити положителен, направлен от нити. Результирующий вектор  получим, суммируя векторы  от всех элементов нити. Угол a меняется в зависимости от положения элемента dl на нити, следовательно, угол между  и осями координат x, y также будет меняться. Поэтому спроецируем  на оси координат и найдем проекции результирующего вектора  на оси координат EX, EY.

Если взять на нити два симметрично расположенных относительно оси элемента dl1 и dl2, то, как видно из рис. (12,б) dEY1 и dEY2 равны по величине и противоположно направлены, поэтому EY=0, E=EX.

Напряженность поля, создаваемого точечным зарядом dQ в точке А:

 

(б)

 Как видно из рис. 12, а:

 

(в)

 При интегрировании будут меняться значения угла a  и расстояния r, поэтому все переменные следует выразить через одну переменную интегрирования, в качестве которой выберем угол a. Расстояние r можно выразить следующим образом:

(г)

 Положение элемента dl определяется его расстоянием l от перпендикуляра из точки на нить, поэтому:

.

Возьмем производную от l по a:

 или .

Подставив выражения (а), (в), (г) в (б), получим:

.

Тогда, согласно (в), запишем:

.

Найдем EX:

.

Угол a1 отсчитывается от перпендикуляра АО вниз (рис.12,а), т.е. является углом отрицательным. Так как функция sina нечетная, то полученную формулу можно переписать:

.

Поскольку a1=a2, то

.

(Сравните с выражением для поля, созданного бесконечно длинной нитью).

(е)

Заметим, что выражение (е) обращается в бесконечность при а®0. Это означает, что понятие тонкой нити справедливо до тех пор, пока рассматриваются точки, расстояния до которых от нити велики по сравнению с ее поперечными размерами.


Физика примеры решения задач Электромагнетизм Закон Ампера