Геометрия
Практикум
Математика
Лекции
Графика
Сопромат
Алгебра
Физика

Контрольная

Задачи
Типовой
На главную
Черчение
Механика
Курсовая
Электротехника

Физика задачи. Примеры контрольной по разделам Механика, Молекулярная физика, Электростатика, Оптика

Динамика вращательного движения

Основные законы и формулы

1. При криволинейном движении сила, действующая на материальную точку, может быть определена по формуле

где  и – линейная и угловая скорости тела массой m; R – радиус кривизны траектории в данной точке.

Если касательная составляющая равнодействующей силы, действующей на точку, а нормальная составляющая с течением времени не меняется по величине, то точка будет равномерно двигаться по окружности

2. Между двумя точечными телами массами m1 и m2, находящимися на расстоянии r друг от друга, действует сила тяготения, которая определяется законом всемирного тяготения:

где γ – гравитационная постоянная: γ≈6,67∙10-11 Н∙м2/кг2.

3. Для характеристики вращательного движения твердых тел часто пользуются моментом М силы F относительно оси вращения.

Момент М является векторной величиной. Величина момента М некоторой силы F относительно оси вращения определяется формулой:

М=Fl,

где l – расстояние от оси вращения до прямой, вдоль которой действует сила.

4. Основное уравнение динамики вращательного движения:

а) в общем случае

Мω),

где М – момент силы, действующей на тело в течении времени dt, J – момент инерции тела,  – угловая скорость, J – момент импульса;

б) в случае постоянных момента силы и момента инерции

в) в случае постоянного момента инерции

М=Jε,

где  – угловое ускорение.

5. Момент импульса материальной точки

или

L=Jω,

где m – масса точки,  – линейная скорость точки, r – расстояние точки от оси, относительно которой определяется момент импульса.

Закон сохранения момента импульса системы тел, вращающихся вокруг неподвижной оси z:

ω=const,

где Jz – момент инерции системы тел относительно оси z;  – угловая скорость вращения тел системы вокруг оси z.

6. Момент инерции материальной точки:

где m – масса точки; r – расстояние до оси вращения.

Моменты инерции некоторых тел массой m относительно оси z, проходящей через центр масс:

а) стержня длиной l относительно оси, перпендикулярной стержню:

б) обруча (тонкостенного цилиндра) относительно оси, перпендикулярной плоскости обруча (совпадающей с осью цилиндра):

где R – радиус обруча (цилиндра);

в) диска или сплошного цилиндра радиусом R относительно оси, перпендикулярной плоскости основания:

г) однородного шара радиуса R относительно оси, проходящей через его центр:

Теорема Штейнера:

где  – момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс; – момент инерции относительно параллельной оси, отстоящей от первой на расстоянии а; m – масса тела.

Общее условие равновесия тела гласит, что для того, чтобы тело находилось в равновесии, необходимо, чтобы были равны нулю равнодействующая приложенных к телу сил и сумма моментов этих сил относительно оси вращения:

FFi = 0; Mi = 0.

Примеры решения задач

Пример 1. Два шарика с массами m1=40 г и m2=10 г, надетые на горизонтальный стержень (рис. 7), связаны нитью длиной l=20 см. Определить силу натяжения нити при вращении стержня с угловой скоростью если шарики не смещаются относительно оси вращения. Трением шариков о стержень пренебречь. Рис.7

Решение. В данном случае нормальные ускорения шариков вызваны действием сил натяжения Т1 и Т2. Поскольку шарики не смещаются относительно оси вращения, то Т1=Т2. Согласно второму закону Ньютона, можно записать:

Тогда

поэтому

Сила натяжения нити будет равна:

Пример 2. Шарик массой 200 г, привязанный нитью к подвесу, описывает в горизонтальной плоскости окружность, имея постоянную скорость. Определить скорость шарика и период его вращения по окружности, если длина нити 1 м, а ее угол с вертикалью составляет 600.

 Решение. На шарик действуют: mg – сила тяжести, Т- сила натяжения нити (рис.8). Запишем для шарика уравнение второго закона Ньютона в векторной форме:  Рис. 8

mg+Т = ma.

 Спроецируем это уравнение на выбранные направления осей X и Y:

  (1)

 Учитывая, что  (шарик не движется в вертикальном направлении,R – радиус окружности), , и подставляя выражение для ах, ау и R в (1), получаем:

  (2)

 Решив уравнения (2) получим:

 

 При равномерном движении шарика по окружности его период вращения

Пример 3. Тело массой кг вращается на тонком стержне в вертикальной плоскости. Частота вращения равна , длина стержня см. Определить силу натяжения стержня: 1) в верхней и 2) в нижней точках.

Решение. 1. На тело в верхней точке действуют сила тяжестии Рис. 9

сила натяжения Т стержня (рис.9). В результате действия двух сил тело движется по окружности, т.е. с центростремительным ускорением

 , (1)

где  – угловая скорость; R – радиус траектории. Учитывая, что , можем записать

 . (2)

Направление сил Т1 и Р совпадает с вектором ац.с, поэтому второй закон Ньютона запишем в скалярном виде:

 , (3)

или с учетом (2)

 , (4)

откуда

 . (5)

Выразим в СИ числовые значения R и g: R=0,125 м, g=9,81 м/с2.

Вычислим по формуле (5) искомую силу натяжения стержня в верхней точке траектории:

.

2. В нижней точке траектории на тело действуют (рис.10) те же силы и Т2. Однако сила Р в данном случае направлена противоположно вектору ац.с. В связи с этим второй закон Ньютона имеет вид

 Рис.10

,

откуда

.

После подстановки имеем

Пример 4. Маховик в виде диска массой m=50 кг и радиусом r=20 см, был раскручен до частоты n1=480 об/мин и затем предоставлен самому себе. Под воздействием трения маховик остановился.

 Найти момент М сил трения, считая его постоянным, принимая, что: а) маховик остановился через t=50 c; б) маховик до полной остановки сделал N=200 об.

 Решение. а). По второму закону динамики вращательного движения изменение момента импульса вращающегося тела равно произведению момента силы, действующего на тело, на время действия этого момента

где J – момент инерции маховика,  и – начальная и конечная угловые скорости, соответственно.

Так как  то

Откуда

 (1)

Момент инерции диска относительно его геометрической оси

 

Подставив выражение момента инерции в формулу (1), найдем:

  (2)

Выразим угловую скорость маховика через частоту вращения

рад/с=50,2 рад/с.

Подставим числовые значения в формулу (2), получим

Н·м = –1 Н∙м.

б). В условии задачи дано число оборотов, сделанных маховиком до остановки, т.е. его угловое перемещение. Поэтому следует применить формулу, выражающую связь работы с изменением кинетической энергии:

или

  (3)

так как

Работа при вращательном движении определяется по формуле:

Подставим это выражение работы, а также выражение момента инерции диска в формулу (3), получим:

Отсюда момент силы трения

  (4)

Угол поворота в радианах

рад = 1256 рад.

Подставим числовые значения в выражение (4), найдем

Н·м = –1 Н∙м.

Знак «минус» показывает, что момент силы трения оказывает тормозящее действие.

Пример 5. Определить расстояние от центра Земли до искусственного спутника и скорость его относительно поверхности Земли, если спутник запущен так, что он движется в плоскости земного экватора и с Земли все время кажется неподвижным.

Решение. С достаточной степенью точности можно считать, что на спутник при его движении действует только сила земного притяжения:

где m – масса спутника; М – масса Земли; R – расстояние от центра Земли до спутника.

Под действием этой силы спутник, равномерно движется по окружности с ускорением поэтому  где  – скорость спутника. Учитывая, что можно записать:

Поскольку спутник с Земли все время кажется неподвижным, то где Т – период суточного вращения Земли ( Т=24 ч). Поэтому

откуда

.

Определим скорость движения спутника:

Пример 6. Сравнить ускорение свободного падения у поверхности Луны с ускорением свободного падения у поверхности Земли.

Решение. На тело массой m вблизи поверхности Земли и Луны будут действовать соответственно силы:

где – гравитационная постоянная; MЗ и MЛ – массы соответственно Земли и Луны; RЗ и RЛ – радиусы Земли и Луны. Эти силы будут сообщать телу соответствующие ускорения свободного падения:

поэтому

откуда

Тепловое излучение и его характеристики (энергетическая светимость, излучательная и поглощательная способности). Закон Кирхгофа. Закономерности излучения абсолютно черного тела. Закон Стефана-Больцмана. Закон смещения Вина. Невозможность объяснения законов теплового излучения в рамках классических представлений (ультрафиолетовая катастрофа). Квантовая гипотеза Планка. Фотоны, их энергия, масса, импульс. 3. Давление света. Внешний фотоэффект. Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта.

Ядерные реакторы

Сети