ФИЗИКА АТОМА И ОСНОВЫ ФИЗИКИ ЯДРА

Начертательная геометрия
и инженерная графика
Начертательная геометрия
Задание по инженерной графике
Геометрические характеристики
плоских сечений
Построение геометрических фигур
Контрольная работа по
инженерной графике
Практикум по черчению
Оформление чертежей
Построения черчежа
Позиционные задачи

Основы машиностроительного черчения

Черчение Практикум по решению задач
Построение касательной
История искусства
Архитектура и скульптура Западной Европы
Живопись Франции
Барбизонская школа
Эдуард Мане
Импрессионизм
Неоимпрессионизм
Постимпрессионизм
Живопись Германии
Живопись Англии
Галерея Тейт в Лондоне
Искусство России
Архитектура и скульптура
Живопись
Иван Айвазовский
Василий Поленов
Василий Суриков
Исаак Левитан

Государственная Третьяковская галерея

Сопромат
Сопротивление материалов
Задачи по сопротивлению материалов
Теоретическая механика
Лабораторные работы по
сопротивлению материалов
Контрольная работа по сопромату
Лекции по черчению,
начертательной геометрии
Вычерчивание контуров деталей
Аксонометрическая проекция
Тени цилиндра
Конические сечения
Математика решение задач
Вычисление объемов с помощью
тройных интегралов
Основы векторной алгебры
Аналитическая геометрия
Решение типового варианта контрольной работы
Курсовая по математике
Вычисления интегралов
Интегралы при решении задач
Физика
Лекции и конспекты
Физика примеры решения задач
Механика
Термодинамика
Молекулярная физика
Электростатика и постоянный ток
Электромагнетизм
Электромагнитная индукция
Теория электромагнитного поля
Геометрическая оптика
Радиоактивность. Элементы физики ядра
Электротехника
Схемы выпрямителей, фильтров
MATLAB приложение Simulink
Курсовая по ТОЭ
Примеры выполнения заданий
Курс лекций по ТОЭ и типовые задания
Линейные электрические цепи
Резонанс в электрических цепях
Несинусоидальные токи
Расчет переходных процессов
Теория нелинейных цепей
Переходные процессы в нелинейных цепях
Лабораторные работы и расчеты по ТОЭ
Исследование переходных процессов
Моделирование электрических цепей
Задание на курсовую работу
Расчет переходного процесса в цепях
первого порядка
Использование программы Mathcad
Исследование  трёхфазных цепей
Исследование сложной электрической цепи постоянного тока
Исследование  трёхфазных цепей при соединении сопротивлений нагрузки
в треугольник
Информатика
Школьный учебник по информатике
Графический пакет AutoCAD
Adobe Illustrator
Инструменты
Векторные фильтры
Цветовые фильтры
Работа с текстом и шрифтом
Информационная графика
Учебник по Microsoft Internet Explorer
Основы безопасной работы с ресурсами сети
Microsoft Outlook
Компьютерные сети
Вычислительные сети
Основные проблемы построения сетей
Понятие «открытая система» и проблемы стандартизации
Локальные и глобальные сети
Сети отделов, кампусов и корпораций
Требования, предъявляемые к современным вычислительным сетям
Основы передачи дискретных данных
Методы передачи дискретных данных на физическом уровне
Методы передачи данных канального уровня
Методы коммутации
Базовые технологии локальных сетей
Протокол LLC уровня управления логическим каналом (802.2)
Технология Ethernet (802.3)
Технология Token Ring (802.5)
Технология FDDI
Fast Ethernet и 100VG - AnyLAN как развитие технологии Ethernet
Высокоскоростная технология Gigabit Ethernet
Построение локальных сетей по стандартам физического и канального уровней
Концентраторы и сетевые адаптеры
Логическая структуризация сети с помощью мостов и коммутаторов
Техническая реализация и дополнительные функции коммутаторов
Сетевой уровень как средство построения больших сетей
Адресация в IP-сетях
Протокол IP
Протоколы маршрутизации в IP-сетях
Средства построения составных сетей стека Novell
Маршрутизаторы
Глобальные сети
Глобальные связи на основе выделенных линий
Глобальные связи на основе сетей с коммутацией каналов
Компьютерные глобальные сети с коммутацией пакетов
Удаленный доступ
Средства анализа и управления сетями
Мониторинг и анализ локальных сетей
Ядерная индустрия
История ядерной индустрии
Урановый проект
Попытка создать атомное оружие в Германии
США применила атомные бомбы
Атомная индустрия в Великобритании
Проектирование ядерного реактора Франция
Развитие ядерной индустрии в СССР
Урановый проект СССР в годы войны
Проектирование атомной подводной лодки
Первая в мире атомная электростанция
Атомный ледоход"Ленин"
Путешествие советской атомной подводной лодки на Северный полюс
Атомные двигатели для космоса
Курчатовский институт
Ядерные реакторы
Компоновка реакторного контура
Реактор ВВЭР
Реактор РБМК
Реакторная установка МКЭР -1500
Газоохлаждаемые реакторы
Атомные электростанции с натриевым теплоносителем
АЭС с реактором БН-350
Цепная ядерная реакция
Термоядерный синтез
Реакторы на быстрых нейтронах
Варианты  плавучего энергоблока и опреснительных установок
Радиационная и ядерная безопасность
Обеспечение защиты населения
 

ФИЗИКА АТОМА И ОСНОВЫ ФИЗИКИ ЯДРА Первый постулат Бора (постулат стационарных состояний)

Пример 2. Определить длину волны де Бройля  электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов 700 кВ.

Задача на определение ускорения. Уравнение движения тела имеет вид х = 15t + 0,4 t2 м. Найти ускорение движения тела.

Задача на движение связанных тел. Невесомый блок укреплен на конце стола. Гири одинаковой массы m1 = m2 = 1 кг соединены нитью и перекинуты через блок. Коэффициент трения гири о стол μ = 0,1. Найти ускорение а, с которым движутся гири, и силу натяжения нити Т. Трением в блоке пренебречь.

Задача на динамику криволинейного движения. Определить скорость движения автомобиля массой 2 т по вогнутому мосту радиусом 100 м, если он давит на середину моста с силой 2,5·104 Н.

Задача на вращательное движение. Диск массой m = 2 кг катится без скольжения по горизонтальной  плоскости со скоростью v = 4 м/с. Найти кинетическую энергию диска.

Задача на I начало термодинамики. Водород массой m = 200 г расширяется изобарически под давлением p = 3∙105 Па, поглощая в процессе расширения теплоту Q = 20 кДж. Определить работу расширения газа.

ЭЛЕМЕНТЫ АТОМНОЙ ФИЗИКИ И КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ. ФИЗИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА

Боровская теория водородоподобного атома.

Момент импульса электрона (второй постулат Бора)

Ln = ћ×n, или m×vnrn = ћ×n,

где m - масса электрона;

vn - скорость электрона на n орбите;

rn - радиус n стационарной орбиты;

ћ - постоянная Планка, делённая на 2p;

n - главное квантовое число (n = 1, 2, 3, ...).

Радиус n-й стационарной орбиты

rn = aon2,

где ao – радиус первой боровской орбиты.

Энергия электрона в атоме водорода

Еn = Еi/n2,

где Еi - энергия ионизации атома водорода (Ei = 13,6 эВ).

Энергия, излучаемая или поглощаемая атомом водорода:

e = hn = En2 - En1 или ,

где n - частота излучения или поглощения атома.

2.2. Волновые свойства частиц

Длина волны де Бройля

l = h/p,

где p - импульс частицы.

Импульс частицы и его связь с кинетической энергией Т:

а) p = mov; , при v << c;

б) ;  при v » c,

где mo - масса покоя частицы;

m - релятивистcкая масса;

v - скорость частицы;

c - скорость света в вакууме;

Eo - энергия покоя частицы (Eo = m0c2).

Соотношения неопределенностей:

а) Dpx×Dx ³ ћ (для координаты и импульса),

где Dpx - неопределенность проекции импульса частицы на ось Х;

Dx - неопределенность координаты x частицы;

б) DE×Dt .³ ћ (для энергии и времени),

где DE - неопределенность энергии;

Dt - время жизни квантовой системы в данном энергетическом состоянии.

Одномерное уравнение Шредингера для стационарных состояний:

,

где y(x) - волновая функция, описывающая состояние частицы;

m - масса частицы;

E - полная энергия;

U = U(x) -потенциальная энергия частицы.

Плотность вероятности

,

где dw(x) - вероятность того, что частица может быть обнаружена вблизи точки с координатой x на участке dx.

Вероятность обнаружения частицы в интервале от x1 до x2:

.

Решение уравнения Шрёдингера для одномерного, бесконечно глубокого, прямоугольного потенциального ящика:

а) ;

б) ,

где yn(x) - собственная нормированная волновая функция;

En - собственное значение энергии микрочастицы;

n - квантовое число (n= = 1, 2, 3, ...);

l - ширина ящика.

Вероятность проникновения частицы через одномерный высокий прямоугольный потенциальный барьер конечной ширины:

,

где l - ширина барьера;

ћ - постоянная Планка, делённая на 2p;

m - масса микрочастицы;

U - высота потенциального барьера;

E - энергия микрочастицы.

2.3. Атомное ядро. Радиоактивность

Закон Мозли позволяет определить количество протонов в ядре и его заряд

Q = Zе:

.

где R - постоянная Ридберга;

 - частота К - линии характеристического рентгеновского излучения;

Z - зарядовое число.

Формула Резерфорда позволяет определить заряд ядра Zе и его массовое число А. Экспериментально определяется относительное число a - частиц dN/N, рассеянных в пределах телесного угла dW ядрами атомов исследуемого вещества:

 или ,

где n – концентрация атомов;

d – толщина фольги;

k = 9×109 Н×м2/Кл2 – коэффициент системы СИ;

T – кинетическая энергия a - частицы;

Z1e – заряд a - частицы;

 - концентрация ядер, выраженная через массовое число A;

r - плотность вещества;

Mат » mN – масса атома.

Рассеяние рассчитывается в пределах углов q, q + dq.

Формула, связывающая прицельное расстояние b с углом q рассеяния a-частиц, позволяющая оценить размеры ядра:

.

Примечание: Прицельное расстояние b принимается за размеры ядра, если q= 90°.

Эффективное сечение ядра s является характеристикой ослабления параллельного пучка частиц в результате их взаимодействия с ядрами вещества. Ядро можно представить непроницаемой площадкой площадью s, перпендикулярной к падающему пучку, которая выводит из потока частицы, пересекающие эту площадку.

Значение s вычисляют по формуле

где n×d - количество ядер фольги, приходящихся на единицу площади;

dN - число рассеянных частиц;

N - число падающих.

Если необходимо определить эффективное сечение ядра, рассеивающего частицы в пределах углов от q до q + dq, то из формулы  можно найти площадь круга ds, описанного вокруг ядра с радиусом b (рис.1.1), проходя через который частица рассеивается в пределах заданных углов

ds=2pbdb. 

В первом приближении можно считать, что ядро имеет форму шара, радиус которого равен r=r0×A1/3 (r0=1,4×10-15 м).

Массовое число ядра (число нуклонов в ядре)

A = Z + N,

где Z - зарядовое число (число протонов в ядре);

N - число нейтронов в ядре.

Закон радиоактивного распада

dN = -l×N×dt,  или ,

где dN - число ядер, распадающихся за интервал времени dt;

N0 - число ядер в момент времени, принятый за начальный;

N - число ядер, не распавшихся к моменту времени t;

l - постоянная радиоактивного распада.

Число ядер, распавшихся за время t

.

В случае, если интервал времени Dt, за который определяется число распавшихся ядер, много меньше периода полураспада T1/2, то число распавшихся ядер можно определять по формуле

DN = l×N×Dt.

Зависимость периода полураспада от постоянной радиоактивного распада

T1/2 = (ln2)/l = 0,693/l.

Среднее время t жизни радиоактивного ядра, т.е. интервал времени, за который число нераспавшихся ядер уменьшается в e раз

t = 1/l.

Если при радиоактивном распаде ядер N1 возникают новые радиоактивные ядра N2, то скорость изменения N1 с течением времени описывается уравнением

,

а N2 уравнением

.

Решение последней системы для случая, когда N02 = 0 имеет вид

 

Вековое уравнение - выражает условие радиоактивного равновесия при условии, когда материнские ядра являются долгоживущими и выполняется условие T1>>T2 (l1<<l2). Для достаточно большого t (>>1) его можно записать в виде

N2(t)l2 = N1(t)l1

Число N атомов, содержащихся в радиоактивном изотопе

,

где m - масса изотопа;

m - молярная масса;

NA - постоянная Авогадро.

Активность A радиоактивного изотопа

A = - dN/dt = lN или ,

где dN- число ядер, распадающихся за интервал времени dt;

Ao - активность изотопа в начальный момент времени.

Удельная активность изотопа

a = A/m.

Масса ядра - состоит из масс нуклонов, входящих в его состав. Вследствие действия ядерных сил масса ядра оказывается меньше суммы масс его нуклонов

Dm = Z×mp+(A-Z)mn - Mя;

Dm = Z×mH+(A-Z)mn – Mат(Z-A);

Dm = Z×DH+(A-Z)Dn – Dат;

Dm = =Z×mH+(A-Z)mn – Mат(Z-A) – (Mат=A+Dат),

где - mp масса протона;

mn - масса нейтрона;

Мя - масса ядра;

Dm - дефект массы ядра;

Мн - масса атома водорода;

Мат - масса атома;

Dm – дефект массы;

A - массовое число;

DH, Dn, Dат - избыток масс атома водорода, нейтрона и атома, который рассматривается.

Энергия связи и дефект массы связаны соотношением

Есв = Dmс2.

Удельная энергия связи

de=Есв/А.

Примечание. В ядерной физике используется система единиц, в которой скорость света с=1. В такой системе единиц Е = m. В предыдущих формулах масса выражается в атомных; единицах массы (а.е.м). Чтобы перейти от единиц массы к единицам энергии, используется соотношение

1 а.е.м. = 931,44 МэВ.

Формула Вейцзекера (полуэмперическая) позволяет теоретически найти массу ядра и энергию связи (если заданы А и Z). Ядро рассматривается с точки зрения капельной модели:

Mя = Z×mp + (A-Z)mn – 14A + 13A2/3 0,584×Z2/A1/3 +19,3×.

Энергия связи по формуле Вейцзекера выражается полуэмперической формулой:

Eсв=14A-13A2/3-0,584Z2/A1/3-19,3.

Примечания. 1. Энергия связи выражается в МэВ.

2. d может принимать следующие значения:

Спин ядра, полный механический момент атома, магнитный момент ядра, сверхтонкое расщепление

Механический момент ядра I

,

где i - квантовое число.

Примечание. Свойства момента  таковы, что опытным путем можно определить лишь его проекцию Iz на избранное направление (направление можно задать внешним магнитным полем):

Iz=mi×ħ,

где квантовое число mi принимает значения mi = i, i-1, i-2, ... , -i.

Спин ядра - максимальное значение проекции механического момента ядра. Эта характеристика ядра приводится в таблицах.

Полный момент атома  представляет собой векторную сумму полных моментов ядра  и электронной оболочки :

. (***)

При постоянных значениях  и  их ориентация может быть разной, поэтому разным будет и значение вектора   (рис.1.3). Величина ,  где F - квантовое число.

Рис.1.2

Возможные значения квантового числа F определяются правилами сложения квантовых векторов   и:

êê = I +.J; I +.J-1; I + J-2; êI-Jê.

Если I < J, то число значений F будет 2I+1, а если I < J, то их будет 2J+1.

Магнитный момент ядра связан со спиновым моментом следующим соотношением

mЯ = g×I,

где g-скаляр, который называется ядерным гиромагнитным отношением.

Дополнительная энергия атома – возникает в результате взаимодействия ядерного магнитного момента с магнитным полем электронной оболочки ()

W=.

Значение дополнительной энергии атома (с учетом квантовых чисел F, J, I и известных соотношений , )

,

где а и g - постоянные.

Значение дополнительной энергии атома (с учетом скалярного произведения )

W = g×a(F2 – I2 –J2)/2.

Примечание. При заданных I и J, энергия взаимодействия атома W принимает столько значений, сколько их имеет полное квантовое число F: (2I+1 или 2J+ 1). Эта энергия взаимодействия приводит к появлению сверхтонкой структуры энергетических уровней, проявляющихся в сверхтонкой структуре спектральных линий.

Правила отбора для F

DF = 0; ±1.

2.4. Теплоёмкость кристаллов

Средняя энергия квантового одномерного осциллятора

<e> = eo + ħw/(exp(ħw/(kT)) - 1),

где eo - нулевая энергия (eo = ħw/2);

ћ - постоянная Планка, делённая на 2p;

w -циклическая частота колебаний осциллятора;

k - постоянная Больцмана;

T - термодинамическая температура.

Молярная внутренняя энергия системы, состоящей из невзаимо-действующих квантовых осцилляторов

Um = Uom + 3R×qE/(exp(qE/T) - 1),

где R - универсальная газовая постоянная;

qE = ћw/k - характеристическая температура Эйнштейна;

Uom = 3RqE/2 - молярная нулевая энергия Эйнштейна.

Молярная теплоёмкость кристаллического твёрдого тела в области низких температур (T < qD - предельный закон Дебая)

.

Теплота, необходимая для нагревания тела

,

где m - масса тела;

m - молярная масса;

T1 и T2 - начальная и конечная температуры тела.

2.5. Элементы квантовой статистики

Распределение свободных электронов в металле по энергиям при 0 K - справедливое при e < eF (где eF - энергия или уровень Ферми)

,

где dn(e) - концентрация электронов, энергия которых заключена в пределах от e до e + de;

m - масса электрона.

Энергия Ферми в металле при T = 0 K

,

где n - концентрация электронов в металле.

2.6. Полупроводники

Удельная проводимость собственных полупроводников

g = go×exp(-DE/2kT),

где DE - ширина запрещённой зоны;

g0 - константа.

Сила тока в p-n переходе

I = Io[exp(eU/kT) - 1],

где Io - предельное значение силы обратного тока;

U - внешнее напряжение, приложенное к p-n переходу.

2.7. Контактные и термоэлектрические явления

Внутренняя контактная разность потенциалов

U12 = (eF1 - eF2)/e,

где eF1 и eF2 - энергия Ферми соответственно для первого и второго металлов;

e - заряд электрона.

Примеры решения задач

Пример 1. Электрон в атоме водорода перешел с четвёртого энергетического уровня на второй. Определить энергию испущенного при этом фотона.

Решение. Для определения энергии фотона воспользуемся сериальной формулой Бальмера для водородоподобных ионов:

. (1)

где l - длина волны фотона; R - постоянная Ридберга; Z - заряд ядра в относительных единицах (при Z = 1 формула переходит в сериальную формулу для водорода); n1 - номер орбиты, с которой перешел электрон; n2 - номер орбиты, на которую перешел электрон ( n1 и n2 - главные квантовые числа).

Энергия фотона e выражается формулой

e = h×c/l

Поэтому, умножив обе части равенства (1) на hc, получим выражение для энергии фотона:

.

Так как Rhc есть энергия ионизации Ei атома водорода, то

.

Вычисления выполним во внесистемных единицах:

Ei = 13,6 эВ. Z = 1; n1 = 2; n2 = 4:

e = 13,6×12(1/22 - 1/42) эВ = 13,6×3/16 = 2,55 эВ.

Пример 2. Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность потенциалов U. Найти длину волны де Бройля электрона для двух случаев: 1) U1 = 51 В; 2) U2 = 510 кВ.

Решение. Длина волны де Бройля для частицы зависит от её импульса p и определяется формулой

lБ = h/p, (1)

где h - постоянная Планка.

Импульс частицы можно определить, если известна её кинетическая энергия T. Связь импульса с кинетической энергией различна для нерелятивистского случая (когда кинетическая энергия частицы много меньше её энергии покоя) и для релятивистского случая (когда кинетическая энергия сравнима с энергией покоя частицы).

В нерелятивистском случае

,

где mo - масса покоя электрона.

В релятивистском случае

. (3)

где Eo = moc2 - энергия покоя электрона.

Формула (1) с учётом соотношений (2) и (3) запишется: в нерелятивистском случае

, (4)

в релятивистском случае

. (5)

Сравним кинетические энергии электрона, прошедшего заданные в условии задачи разности потенциалов U1 = 51 В и U2 = 510 кВ, с энергией покоя электрона и в зависимости от этого решим, какую из формул (4) или (5) следует применить для вычисления длины волны де Бройля.

Электрическое поле совершает над электроном работу, которая равна изменению его кинетической энергии T:

T = e×U

В первом случае T1 = e×U = 51 эВ = 0,51×10-4 МэВ, что много меньше энергии покоя электрона Eo = moc2 = 0,51 МэВ. Следовательно, в этом случае можно применить формулу (4). Для упрощения расчётов заметим, что T1 = =10-4moc2. Подставив это выражение в формулу (4), перепишем её в виде

.

Учитывая, что h/moc есть комптоновская длина волны L, получим

l1 = 102L×.

Так как L = 2,43 пм, то

l1 = 102×2,43/ = 171 (пм).

Во втором случае кинетическая энергия T2 = eU2 = 510 кэВ = 0,51МэВ, т.е. равна энергии покоя электрона. В этом случае необходимо применить релятивистскую формулу (5). Так как T2 = moc2, то по формуле (5) находим

.

Подставим значение L и произведём вычисления:

Пример 3. Кинетическая энергия электрона в атоме водорода составляет величину порядка T = 10 эВ. Используя соотношение неопределённостей, оценить минимальные линейные размеры атома.

Решение. Соотношение неопределённостей для координаты и импульса имеет вид

Dx×Dpx ³ ћ,  (1)

где Dx - неопределённость координаты x электрона; Dpx - неопределённость проекции импульса электрона на ось X; ħ - постоянная Планка, делённая на 2p.

Из соотношения неопределённостей следует, что чем точнее определяется положение частицы в пространстве, тем более неопределённым становится соответствующая проекция импульса, а следовательно, и энергия частицы. Пусть атом имеет линейные размеры l, тогда электрон атома будет находиться где-то в пределах области с неопределённостью

Dx = l/2.

Соотношение неопределённостей (1) можно записать в том случае в виде

(l/2)Dpx ³ ħ,

откуда

l ³ 2ħ/Dpx. (2)

Физически разумная неопределённость импульса Dpx во всяком случае не должна превышать значения самого импульса px, то есть Dpx £ px. Импульс px связан с кинетической энергией T соотношением px = (2mT)1/2. Переходя от неравенства к равенству, получим

. (3)

Произведём вычисления:

lmin = 2×1,05×10-34/(2×9,1×10-31×1,6×10-19×10)1/2 = 124 нм.

Пример 4. Волновая функция  описывает основное состояние частицы в бесконечно глубоком  прямоугольном ящике шириной l. Вычислить вероятность нахождения частицы в малом интервале Dl = 0,01l в двух случаях: 1) вблизи стенки (0 < x < l);

2) в средней части ящика ((l - Dl)/2 ≤ x ≤(l + Dl)/2).

Решение. Вероятность того, что частица будет обнаружена в интервале dx (от x до x + dx), пропорциональна этому интервалу и квадрату модуля волновой функции, описывающей данное состояние, равна

dw = êy(x)ê2×dx.

В первом случае искомая вероятность найдётся интегрированием в пределах от 0 до 0,01l:

.

Так как x изменяется в интервале 0 ≤x ≤0,01l и, следовательно, px/l <l, справедливо приближённое равенство

sin2(px/l) » (px/l)2.

С учётом этого выражение (1) примет вид

.

После интегрирования получим

w = .

Во втором случае можно обойтись без интегрирования, так как квадрат модуля волновой функции вблизи её максимума в заданном малом интервале (Dl = =0,01l) практически не изменяется. Искомая вероятность во втором случае определяется выражением

w = 2×(sin2(pl/2l)×Dl/l = 2×0,01l/l = 0,02.

Пример 5. Найти заряд ядра атомов вещества, для которых Ka-линия в характеристическом рентгеновском спектре имеет длину волны l=193,5 пм.

Решение. По закону Мозли , где Z - зарядовое число ядра атома, R = 2,067×1016 с-1 Отсюда выразим Z

, w=2pn=, откуда

Ответ: Q=+26e.

Пример 6. На медную фольгу, у которой n×d = 1,5×10-2 кг/м2, падает перпендикулярно узкий пучок a - частиц, энергия которых 5,29 МэВ. На угол q > 6° рассеивается больше 1% всех a-частиц. Определить число протонов Z в ядре меди.

Решение. Рассеяние a-частиц на ядрах атомов описывается формулой Резерфорда:

По условию задачи a частицы рассеиваются в пределах углов 6°<q <180°, поэтому число рассеянных a-частиц можно определить интегрированием:

 т.е.  (1)

По условию задачи DN/N ³ 0,01. Выполнив в (1) некоторые преобразования, получим

. (2)

Для определения Z необходимо найти nd - число ядер фольги на единицу ее поверхности. В условии задачи дается rd, поэтому nd находим по формуле:

,

где m = 0,064 кг/моль, NА - число Авогадро.

Количество протонов в ядре меди найдём из уравнения (2):

, 4pctg230=4573


Ответ: Z = 29.

Пример 7. Узкий пучок протонов с кинетической энергией Т = 100 кэВ падает перпендикулярно на золотую фольгу, для которой rd = 102 кг/м2. Протоны под углом q=60° регистрирует счетчик с круглым отверстием S=1 см2, которое расположено на расстоянии R = 10 см от участка фольги, рассеивающей протоны. Отверстие счетчика расположено перпендикулярно к направлению падающих на него протонов. Доля рассеянных протонов, падающих на отверстие счетчика, составляет DN/N = 4×10-4. Определить массовое число ядра атома золота.

Решение. Для нахождения массового числа А примем, что Мат » А×mN.и воспользуемся формулой :

. (1)

В условии задачи задана площадь S, на которую под углом q в пределах Dq падают частицы. Поскольку площадка и количество частиц DN имеют определенные значения, уравнение (1) необходимо записать в интегральной форме:

. (2)

Учитывая малые изменения углов q и j интеграл в выражении (2) запишем в следующем виде:

 (3)

где q - среднее значение угла q.

Используя приближение (3), определим А:

. (4)

Ответ: А = 194.

Пример 8. Вычислить сечение ядра атома золота, которое соответствует рассеянию протонов с кинетической энергией Т = МэВ в пределах углов q от 60° до 180°.

Решение. Рассеяние частиц ядром в пределах углов от q до q + dq определяется площадью ds эффективного сечения ядра в виде кольца (рис.1.1):

ds = 2pbdb . (1)

Прицельное расстояние b найдем из формулы:

, (2)

где q1 - заряд протона, q2 - заряд ядра золота. Дифференциал от b равен:

 ; (3)

Подставив выражение (2) и (3) в (1), получим:

; (4)

Сечение ядра, на котором рассеиваются частицы в пределах углов от q1 до q2:

. (5)

Подставим выражение (4) в интеграл (5):

. (6)

После интегрирования получим:

,

где q1=+e, q2=78e.

: Ds= 2,1-10-26 м2.

Пример 9. Атомное ядро, поглотив g - фотон (l = 0,47 пм), возбудилось, после чего распалось на отдельные нуклоны, которые разлетелись в разных направлениях. Суммарная кинетическая энергия нуклонов равна 0,4 МэВ. Определить энергию связи Есв ядра.

Решение. На основании закона сохранения энергии имеем:

Мя + hn = Zmp + (А - Z)mn + Т,

где Т - кинетическая энергия нуклонов. Энергия связи:

Eсв = Z×mp + (A-Z)mn – Mя = hn - T.

Eсв=hn - T = hc/l - T.

Произведём вычисления

Ответ: Есв = 2,2 МэВ.

Пример 10. Рассчитать с помощью формулы Вейцзеккера энергию связи Са40.

Решение. Полуэмпирическая формула Вейцзеккера позволяет найти энергию связи ядра по его значениям А и Z:

Eсв=14A - 13A2/3 - 0,584Z2/A1/3 - 19,3.

Для ядра Ca40 d = -1.

Eсв = 14×40 - 13×402/3 - 0,58×202/402/3 – 19,3(40-40)/20 - 33,5×(-1)/403/4 = 342 МэВ.

Ответ: Е. = 342 МэВ.

Пример 11. а) Определить с помощью формулы Вейцзеккера заряд Z ядра, которое имеет наименьшую массу среди ядер с одинаковым нечетным значением массового числа А.

б)Определить с помощью полученной формулы характер активности следующих b активных ядер: Ag103 и Sn127.

Решение. а) Воспользовавшись формулой Вейцзеккера, выразим массу ядра как функцию А и Z:

Mя = Z×mp + (A-Z)mn – 14A + 13A2/3 0,584×Z2/A1/3 +19,3×.

При заданном А масса ядра является функцией Z, т.е. Мя = f(Z) (рис.1.2). Чтобы найти Zmin, найдём производную dM/dZ и приравняем её к нулю:

dM(Z)/dZ = 0.

Функция М(Z) имеет один минимум.

Решив уравнение dM(Z)/dZ = 0 относительно Z, получим ответ на вопрос задачи:

dM/dZ=mp-mn + 2Z×0,584/A1/3 +19,3× = 0.

mp-mn=1,007276-1,008665=1,3 МэВ, 78,5=Z(154,4/A+1,17A-1/3).

Zmin=78,5A/154,4+1,17A2/3=A/1,98+0,015A2/3.

б) Определим Zmin для А = 103, .

Но Z может быть только целым числом, поэтому принимаем Zmin = 45. Радиоактивность Аg103 будет направлена на уменьшение Z, поэтому распад ядра идет по схеме:

.

Находим Zmin для А = 127:

 Zmin=54.

Распад ядра  ведет к увеличению Z. Из этого следует, что оно обладает электронной активностью:

.

Ответ: Zmin = А/(1,98 + 0,015 А2/3).

Пример 12. Вычислить дефект массы и энергию связи ядра .

Решение. Масса ядра всегда меньше суммы масс свободных (находящихся на очень больших расстояниях друг от друга ) протонов и нейтронов, из которых состоит ядро. Дефект массы ядра Dm равен разности между суммой масс свободных нуклонов и массой ядра, т.е.

Dm = Zmp + (A - Z)mn - mя, (1)

где Z - порядковый номер (число протонов в ядре); mp, mn, mя - соответственно массы протона , нейтрона и ядра.

В справочных таблицах всегда даются массы нейтральных атомов, а не ядер, поэтому формулу (1) целесообразно преобразовать так, чтобы в неё входила масса ma нейтрального атома. Можно считать, что масса нейтрального атома равна сумме масс ядра и электронов, составляющих электронную оболочку ядра: ma = mя + Zme, откуда

mя = ma - me. (2)

Выразив в равенстве (1) массу ядра по формуле (2), получаем

Dm = Z(mp + me) + (A - Z)mn - ma.

Замечая, что mp+me=mH, где mH- масса атома водорода, находим

Dm = ZmH + (A - Z)mn - ma. (3)

Подставив в выражение (3) числовые значения масс, взятые из справочной таблицы, получим

Dm = [3×1,00783 + (7 - 3)×1,00867 - 7×0,1601] = 0,04216 (а.е.м.)

В соответствии с законом пропорциональности массы и энергии

E = Dm×c2, (4)

где c - скорость света в вакууме.

Коэффициент пропорциональности c2 можно выразить через массу и энергию: c2 = E/Dm = 9×1016 Дж/кг.

Если вычислять энергию связи, используя внесистемные единицы, то c2 = 931,44 МэВ/а.е.м. С учётом этого формула (4) примет вид

E = 93,44×Dm (МэВ). (5)

Подставив значение дефекта массы ядра в формулу (5), получим

E = 931,44×0,04216 МэВ = 39,2 МэВ.

Пример 13. Вычислить толщину слоя половинного ослабления X1/2 параллельного пучка g - излучения для воды, если линейный коэффициент ослабления m = 0,047 см-1.

Решение. Интенсивность g - излучения в зависимости от толщины слоя убывает по закону:

I = Ioexp(-mx). (1)

Пройдя поглощающий слой половинного ослабления пучок будет иметь интенсивность I = Io/2. Подставив значения I и x в формулу (1), получим Io/2 = Ioexp(-m×x1/2), или после сокращения:

1/2 = exp(-mX1/2). (2)

Прологарифмировав последнее выражение, получим искомое значение толщины слоя половинного ослабления:

X1/2 = ln(2)/m. (3)

Произведём вычисления

X1/2 = ln(2)/4,7 = 14,7 см.

Пример 14. Кремниевый образец нагревают от температуры t1 = 0oC до температуры t2 = 10oC. Во сколько раз возрастает его удельная проводимость?

Решение. Удельная проводимость g собственных полупроводников связана с температурой T соотношением

g = g0×exp(-DE/(2kT)),

где g0 - константа; DE - ширина запрещённой зоны. Следовательно,

.

Полагая для кремния DE = 1,1 эВ, произведём вычисления:

.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 6

201. На сколько изменилась кинетическая энергия электрона в атоме водорода, если при переходе в невозбуждённое состояние атом излучил фотон с длиной волны l = 486 нм?

202. D-линия натрия излучается в результате такого перехода электрона с одной орбиты атома на другую, при котором энергия атома уменьшается на DW = 3,37×10-19 Дж. Найти длину волны l D-линии.

203. Электрон, пройдя разность потенциалов U = 4,9 В, сталкивается с атомом ртути и переводит его в первое возбуждённое состояние. Какую длину волны l имеет фотон, соответствующий переходу атома ртути в основное состояние?

204. Вычислить энергию e фотона, испускаемого при переходе электрона в атоме водорода с третьего энергетического уровня на первый.

205. Определить наименьшую emin и наибольшую emax энергии фотона в ультрафиолетовой серии спектра водорода (серии Лаймана).

206. Определить потенциальную П, кинетическую Т и полную Е энергии электрона, находящегося на первой орбите атома водорода.

207. Определить длину волны l, соответствующую третьей спектральной линии в серии Бальмера.

208. Найти наибольшую lmax и наименьшую lmin длины волн в первой инфракрасной серии спектра водорода (серии Пашена).

209. Вычислить длину волны l , которую испускает ион гелия Не+ при переходе со второго энергетического уровня на первый. Сделать такой же подсчет для иона лития Li++.

210. Найти энергию ионизации Ei и потенциал ионизации Ui ионов Не+ и Li++.

211. Вычислить частоты n1 и n2 вращения электрона в атоме водорода на второй и третьей орбитах. Сравнить эти частоты с частотой n излучения при переходе электрона с третьей на вторую орбиту.

212. Атом водорода в основном состоянии поглотил квант света с длиной волны l =121,5 нм. Определить радиус r электронной орбиты возбужден-ного атома водорода.

213. Определить первый потенциал U1 возбуждения атома водорода.

214. Атомарный водород, возбужденный светом определенной длины волны, при переходе в основное состояние испускает только три спектральные линии. Определить длины волн этих линий и указать, каким сериям они принадлежат.

215. Фотон с энергией e =16,5 эВ выбил электрон из невозбужденного атома водорода. Какую скорость V будет иметь электрон вдали от ядра атома?

216. На дифракционную решётку нормально падает пучок света от разрядной трубки, наполненной атомарным водородом. Постоянная решётки d=5 мкм. Какому переходу электрона соответствует спектральная линия, наблюдаемая при помощи этой решётки в спектре пятого порядка под углом j = 41o?

217. Какую наименьшую энергию Wmin должны иметь электроны, чтобы при возбуждении атомов водорода ударами этих электронов появились все линии всех серий спектра водорода? Какую наименьшую скорость vmin должны иметь эти электроны?

218. Определить изменение энергии DE электрона в атоме водорода при излучении атомом фотона с частотой n = 6,28×1014 Гц.

219. Во сколько раз изменится период Т вращения электрона в атоме водорода, если при переходе в невозбуждённое состояние атом излучил фотон с длиной волны l = 97,5 нм?

220. В однозарядном ионе лития электрон перешёл с четвёртого энергетического уровня на второй. Определить длину волны l излучения, испущенного ионом лития.

221. В каких пределах должна лежать энергия бомбардирующих электронов, чтобы при возбуждении атомов водорода ударами этих электронов спектр водорода имел только одну спектральную линию?

222. В каких пределах должны лежать длины волн l монохроматического света, чтобы при возбуждении атомов водорода квантами этого света радиус орбиты электрона увеличился в 9 раз.

223. Вычислить радиусы r2 и r3 второй и третьей орбит в атоме водорода.

224. Определить скорость V электрона на второй орбите атома водорода.

225. Определить частоту обращения электрона на второй орбите атома водорода.

226. Какую энергию необходимо дополнительно сообщить электрону, чтобы его дебройлевская длина волны уменьшилась от 100 до 50 пм?

227. Две одинаковые нерелятивистские частицы движутся перпендикулярно друг к другу с дебройлевскими длинами волн l1 и l2. Найти дебройлевскую длину волны каждой частицы в системе центра инерции.

228. Найти дебройлевскую длину волны релятивистских электронов, подлетающих к антикатоду рентгеновской трубки, если длина волны коротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра lk равна 10,0 пм.

229. При каком значении кинетической энергии дебройлевская длина волны электрона равна его комптоновской длине волны?

230. Из катодной трубки на диафрагму с узкой прямоугольной щелью нормально к плоскости диафрагмы направлен поток моноэнергетических электронов. Определить анодное напряжение трубки, если известно, что на экране, отстоящем от щели на расстоянии L = 0,5 м, ширина центрального дифракционного максимума Dx = 10,0 мкм. Ширину b щели принять равной 0,10 мм.

231. Параллельный поток электронов, ускоренных разностью потенциалов U = 25 В, падает нормально на диафрагму с двумя узкими щелями, расстояние между которыми d = 50 мкм. Определить расстояние между соседними максимумами дифракционной картины на экране, расположенном на расстоянии L = 100 см от щелей.

232. Найти дебройлевскую длину волны молекул водорода, соответствующую их наиболее вероятной скорости при комнатной температуре.

233. Найти длину волны де Бройля для электрона, движущегося по первой боровской орбите атома водорода.

234. Заряженная частица, ускоренная разностью потенциалов U = 200 В, имеет длину волны де Бройля lБ = 2,02 пм. Найти массу частицы, если её заряд численно равен заряду электрона.

235. Альфа-частица движется по окружности радиусом r = 8,3 мм в однородном магнитном поле, напряжённость которого H = 18,9 кА/м. Найти для неё длину волны де Бройля.

236. На сколько по отношению к комнатной должна измениться температура идеального газа, чтобы дебройлевская длина волны его молекул уменьшилась на 20%?

237. Вычислить наиболее вероятную дебройлевскую длину волны молекул водорода, находящихся в термодинамическом равновесии при комнатной температуре.

238. Кинетическая энергия электрона равна удвоенному значению его энергии покоя (2moc2). Вычислить длину волны де Бройля для такого электрона.

239. На грань некоторого кристалла под углом a = 60o к её поверхности падает параллельный пучок электронов, движущихся с одинаковой скоростью. Определить скорость v электронов, если они испытывают интерференционное отражение первого порядка. Расстояние d между атомными плоскостями кристалла равно 0, 2 нм.

240. Узкий пучок электронов, прошедших ускоряющую разность потенциалов U = 30 кВ, падает нормально на тонкий листок золота, проходит через него и рассеивается. На фотопластинке, расположенной за листком на расстоянии L = 20 см от него, получена дифракционная картина, состоящая из круглого центрального пятна и ряда концентрических окружностей. Радиус первой окружности r = 3,4 мм. Определить длину волны де Бройля электронов.

241. Параллельный пучок электронов, движущихся с одинаковой скоростью v= 1 Мм/с, падает нормально на диафрагму с длинной щелью шириной l = 1 мкм. Проходя через щель, электроны рассеиваются и образуют дифракционную картину на экране, расположенном на расстоянии d = 50 см от щели и параллельном плоскости диафрагмы. Определить линейное расстояние x между первыми дифракционными минимумами.

242. С какой скоростью движется электрон, если длина волны де Бройля электрона равна его комптоновской длине волны.

243. Электрон движется по окружности радиусом r = 0,5 см в однородном магнитном поле с индукцией B = 8 мТл. Определить длину волны де Бройля электрона.

244. Какую ускоряющую разность потенциалов должен пройти электрон, чтобы длина волны де Бройля была равна 1 пм?

245. Протон обладает кинетической энергией T = 1 кэВ. Определить дополнительную энергию DT, которую необходимо ему сообщить, для того, чтобы длина волны де Бройля уменьшилась в три раза.

246. Узкий пучок моноэнергетических электронов с кинетической энергией T= = 10 мэВ проходит через поликристаллическую алюминиевую фольгу, образуя на экране систему дифракционных колец. Вычислить межплоскостное расстояние, соответствующее отражению третьего порядка от некоторой системы кристаллических плоскостей, если ему отвечает дифракционное кольцо диаметра D = 3,20 см. Расстояние между экраном и фольгой L = 10,0 см.

247. Узкий пучок моноэнергетических электронов падает нормально на поверхность монокристалла никеля. В направлении, составляющем угол q = 550 с нормалью к поверхности, наблюдается максимум отражения четвёртого порядка при энергии электронов T =180 эВ. Вычислить соответствующее значение межплоскостного расстояния.

248. Вычислить дебройлевские длины волн электрона и атома урана, имеющих одинаковую кинетическую энергию 100 эВ.

249. Вычислить дебройлевскую длину волны релятивистского электрона, движущегося с кинетической энергией T = 0,3 МэВ.

250. Нейтрон с кинетической энергией T =25 эВ налетает на покоящийся дейтрон ( ядро тяжёлого водорода). Найти дебройлевские длины волн обеих частиц в системе их центра инерции.

251. Определить неточность Dx в определении координаты электрона, движущегося в атоме водорода со  скоростью v = 1.5×106 м/с, если допускаемая неточность Dv в определении скорости составляет 10% от её величины. Сравнить полученную неточность с диаметром d атома водорода , вычисленным по теории Бора для основного состояния , и указать, применимо ли понятие траектории в данном случае.

252. Электрон с кинетической энергией T =1 эВ находится в металлической пылинке диаметром d =1 мкм. Определить относительную неточность Dv, с которой может быть определена скорость электрона.

253. Во сколько раз дебройлевская длина волны l частицы меньше не-определённости Dx её координаты, которая соответствует относительной неопределённости импульса в 1% ?

254. Предполагая , что неопределённость координаты движущейся частицы равна дебройлевской длине волны, определить относительную неточность Dp/p импульса этой частицы.

255. Используя соотношение неопределённостей, оценить ширину l одно-мерного потенциального ящика, в котором минимальная энергия электрона Emin = 10 эВ.

256. Используя соотношение неопределённостей, оценить низший энергети-ческий уровень электрона в атоме водорода. Принять линейные размеры атома d = 0,1 нм.

257. Приняв, что минимальная энергия E нуклона в ядре равна 10 МэВ, оценить, из соотношения неопределённостей, линейные размеры ядра.

258. Показать, используя соотношение неопределённостей, что в ядре не могут находится электроны. Линейные размеры ядра принять равными 5 фм.

259. Рассмотрим следующий мысленный эксперимент. Пусть моноэнерге-тический пучок электронов (Т=10 эВ) падает на щель шириной a. Можно сказать, что если электрон прошёл через щель, то его координата известна с неточностью Dx=a. Оценить полученную при этом относительную не-точность в определении импульса Dp/p электрона в случае, если а=0.1 нм.

260. Пылинки массой m = 10-12 г взвешены в воздухе и находятся в тепловом равновесии. Можно ли установить, наблюдая за движением пылинок, отклонение от законов классической механики? Принять, что воздух находится при нормальных условиях, пылинки имеют сферическую форму. Плотность вещества, из которого состоят пылинки, равна 2×103 кг/м3.

261. Используя соотношение неопределённостей DE×Dt ³ ħ, оценить ширину Г энергетического уровня в атоме водорода , находящегося : 1) в основном состоянии ; 2) в возбуждённом состоянии, время t жизни атома в возбуждённом состоянии равно 10-8 с.

262. Оценить относительную ширину Dw/w спектральной линии, если известны время жизни атома в возбуждённом состоянии t ~10-8 c и длина волны излучаемого фотона (l = 0,6 мкм ).

263. Какова должна быть кинетическая энергия протона в моноэнергетическом пучке, используемом для исследования структуры с линейными размерами l ~ 10-13 см.

264. Для приближенной оценки минимальной энергии электрона в атоме водорода можно предположить, что неопределённость Dr радиуса r электронной орбиты и неопределённость Dp импульса p электрона на такой орбите соответственно связаны следующим образом: Dr ~ r и Dp ~ p. Используя эти связи, а также соотношение неопределённостей, определить минимальное значение энергии Tmin электрона в атоме водорода.

265. Среднее время жизни Dt атома в возбуждённом состоянии составляет около 10-8 с. При переходе атома в нормальное состояние испускается фотон, средняя длина волны, которого равна 400 нм. Оценить относительную ширину Dl/l излучаемой спектральной линии, если не происходит уширения линии за счёт других процессов.

266. Электрон с кинетической энергией T ~ 4 МэВ локализован в области размером l = 1 мкм. Оценить с помощью соотношения неопределённостей относительную неопределённость его скорости.

267. Электрон находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Ширина ямы равна l=0,1 нм. Оценить с помощью соотношения неопределённостей силу давления электрона на стенки этой ямы при минимально возможной энергии.

268. Используя соотношение неопределённостей, оценить наименьшие ошибки Dv в определении скорости электрона и протона, если координаты центра масс этих частиц могут быть установлены с неопределённостью 1 мкм.

269. Альфа-частица находится в бесконечно глубоком, одномерном, прямоугольном потенциальном ящике. Используя соотношение неопределённостей, оценить ширину l ящика, если известно, что минимальная энергия a - частицы Emin = 8 МэВ.

270. Принимая, что электрон находится внутри атома диаметром 0,3 нм, определить неопределённость энергии этого электрона.

271. Электронный пучок выходит из электронной пушки под действием разности потенциалов U = 200 В. Определить, можно ли одновременно измерить траекторию электрона с точностью до 100 пм и его скорость с точностью до 10%.

272. Оценить с помощью соотношения неопределённостей минимальную кинетическую энергию электрона, движущегося внутри сферы радиусом R = 0,05 нм.

273. Электронный пучок ускоряется в электронно-лучевой трубке разностью потенциалов U = 1 кВ. Известно, что неопределённость скорости составляет 0,1% от её числового значения. Определить неопределённость координаты электрона. Являются ли электроны в данных условиях квантовыми или классическими частицами?

274. Частица массы m = 9,1×10-31 кг движется в одномерном потенциальном поле U = k×x2/2 (гармонический осциллятор). Оценить с помощью соотношения неопределённостей минимально возможную энергию частицы в таком поле, если k = 1,12 Н/м.

275. Оценить с помощью соотношения неопределённостей минимально возможную энергию электрона в атоме водорода и соответствующее эффективное расстояние его от ядра.

276. Частица находится в потенциальном ящике. Найти отношение разности соседних энергетических уровней DEn+1,n к энергии Еn частицы в двух случаях: 1) n=3; 2) n®µ. Результаты пояснить рисунком.

277. Электрон находится в потенциальном ящике шириной l=0,5 нм. Опре-делить наименьшую разность DЕ энергетических уровней электрона. Ответ выразить в электрон-вольтах.

278. Частица в потенциальном ящике находится в основном состоянии. Какова вероятность W нахождения частицы: 1) в средней трети ящика; 2) в крайней трети ящика?

279. В одномерном потенциальном ящике шириной l находится электрон. Вычислить вероятность w нахождения электрона на первом энергетическом уровне в интервале 1/4, равноудаленном от стенок ящика.

280. Вычислить отношение вероятности w1/w2 нахождения электрона на первом и втором энергетических уровнях в интервале 1/4, равноудаленном от стенок одномерной потенциальной ямы шириной l.

281. Электрон находится в одномерном потенциальном ящике шириной l. Определить среднее значение координаты <x> электрона внутри ящика.

282. Волновая функция, описывающая движение электрона в основном состоянии атома водорода, имеет вид  , где a = 0,53×10-10 м - радиус первой боровской орбиты, A - постоянная нормировки. Найти для основного состояния атома водорода наиболее вероятное расстояние электрона от ядра.

283. Собственная функция, описывающая основное состояние электрона в атоме водорода, имеет вид , где a - радиус первой боровской орбиты. Найти среднее расстояние электрона от ядра.

284. Электрон находится в бесконечно глубоком, одномерном, прямоугольном потенциальном ящике шириной l. В каких точках в интервале 0 < x < l плотности вероятности нахождения электрона на втором и третьем энергетических уровнях одинаковы? Вычислить плотность вероятности для этих точек. Решение пояснить графиком.

285. Частица в потенциальном ящике шириной l находится в возбуждённом состоянии (n =2). Определить, в каких точках интервала 0 < x < l плотность вероятности нахождения частицы:1) максимальна; 2) минимальна.

286. Найти вероятность W прохождения электрона через прямоугольный потенциальный барьер при разности энергий U-E=1 эВ, если ширина барьера: 1) d=0,1 нм; 2) d=0,5 нм.

287. Электрон проходит через прямоугольный потенциальный барьер шириной d=0,5 нм. Высота U барьера больше энергии Е электрона на 1%. Вычислить коэффициент прозрачности D, если энергия электрона Е=10 эВ.

288. Ширина d прямоугольного потенциального барьера равна 0,2 нм. Разность энергий U-E=1 эВ. Во сколько раз изменится вероятность W прохождения электрона через барьер, если разность энергий возрастет в n=10 раз?

289. При какой ширине d прямоугольного потенциального барьера коэффициент прозрачности D для электронов равен 0,01? Разность энергий U-E=10 эВ.

290. Электрон с энергией Е движется в положительном направлении оси Х. При каком значении U-Е, выраженном в электрон-вольтах, коэффициент прозрачности D=10-3, если ширина d барьера равна 0,1 нм?

291. Электрон с энергией Е=9 эВ движется в положительном направлении оси Х. Оценить вероятность W того, что электрон пройдет через потенциальный барьер, если его высота U=10 эВ и ширина d=0,1 нм.

292. Прямоугольный потенциальный барьер имеет ширину d=0,1 нм. При какой разности энергий U-Е вероятность W прохождения электронов через барьер равна 0,99?

293. Ядро испускает a-частицы с энергией Е=5 МэВ. В грубом приближении можно считать, что a-частицы проходят через прямоугольный потенциальный барьер высотой U=10 МэВ и шириной d=5 фм. Найти коэффициент прозрачности D барьера для a-частиц.

294. Волновая функция, описывающая движение электрона в основном состоянии атома водорода, имеет вид , где a - радиус первой боровской орбиты. Найти для основного состояния атома водорода среднее значение <F> кулоновской силы.

295. Собственная волновая функция, описывающая основное состояние электрона в атоме водорода, имеет вид , где A - постоянная нормировки, a - первый боровский радиус. Найти среднее значение потенциальной энергии электрона в атоме водорода.

296. Атом водорода находится в основном состоянии. Собственная волновая функция, описывающая основное состояние в атоме, имеет вид , где A - некоторая константа. Найти из условия нормировки постоянную A.

297. Атом водорода находится в основном состоянии. Вычислить вероятность того, что электрон находится внутри области, ограниченной сферой, радиуса, равного радиусу первой боровской орбиты.

298. Волновая функция, описывающая 2s - состояние электрона в атоме водорода, имеет вид , где r = r/a, a -первый боровский радиус; C = . Определить расстояние от ядра, на котором вероятность обнаружить электрон имеет максимум.

299. Частица находится в основном состоянии в прямоугольной потенциальной яме шириной l с абсолютно непроницаемыми стенками. Во сколько раз отличаются вероятности местонахождения частицы в крайней трети и крайней четверти ямы?

300. Волновая функция частицы массы m = 9,1×10-31 кг для основного состояния в одномерном потенциальном поле U(x) = kx2/2 имеет вид y(x)=Aexp(-ax2), где A - нормировочный коэффициент, a- положительная постоянная, k = 0,91 Н/м. Найти с помощью уравнения Шрёдингера постоянную a и энергию частицы в этом состоянии.

301. Зная постоянную Авогадро Na, определить массу m, нейтрального атома углерода C12 и массу m, соответствующую углеродной единице массы.

302. Хлор представляет собой смесь двух изотопов с относительными атомными массами А1 = 34,969 и А2 = 36,966. Вычислить относительную атомную массу А хлора, если массовые доли w1 и w2 первого и второго изотопов соответственно равны 0,754 и 0,246.

303. Какую часть массы нейтрального атома плутония составляет масса его электронной оболочки?

304. Определить концентрацию нуклонов в ядре.

305. Оценить, какую часть от объема атома кобальта составляет объем его ядра. Плотность r кобальта равна 4,5×103 кг/м3.

306. Показать, что средняя плотность <r> ядерного вещества одинакова для всех ядер. Оценить (по порядку величины) ее значение.

307. Два ядра  сблизились до расстояния, равного диаметру ядра. Считая, что масса и заряд равномерно распределены по объему ядра, определить силу F1 гравитационного притяжения, силу F2 кулоновского отталкивания и отношение этих сил (F1/F2).

308. Покоившееся ядро радона выбросило a- частицу со скоростью V=16 Мм/с. В какое ядро превратилось ядро радона? Какую скорость V1 получило оно в результате отдачи?

309. Какова вероятность W того, что данный атом в изотопе радиоактивного йода I131 распадается в течение ближайшей секунды?

310. Какая часть начального количества атомов распадется за один год в радиоактивном изотопе тория Th228?

311. При распаде радиоактивного полония Ро210 в течение времени t=1 ч образовался гелий, который при нормальных условиях занял объем V=89,5 см3. Определить период полураспада полония.

312. Период полураспада T1/2 радиоактивного нуклида равен 1 ч. Определить среднюю продолжительность жизни этого нуклида.

313. Определить число N атомов, распадающихся в радиоактивном изотопе за время t=10 с, если его активность А=0,1 МБк. Считать активность постоянной в течение указанного времени.

314. Активность А препарата уменьшилась в n=250 раз. Скольким периодам полураспада равен протекший промежуток времени t?

315. За время t=1 сут активность изотопа уменьшилась от А1=118 ГБк до А2=7,4 ГБк. Определить период полураспада этого нуклида.

316. Счетчик Гейгера, установленный вблизи препарата радиоактивного изотопа серебра, регистрирует поток b - частиц. При первом измерении поток Ф1 b -частиц был равен 87 с-1, а по истечении времени t=1 сут поток Ф2 оказался равным 22 с-1. Определить период полураспада T1/2 изотопа.

317. Определить активность А фосфора Р32 массой m= 1 мг.

318. Вычислить удельную активность а кобальта Co60.

319. Найти отношение массовой активности а1 стронция к массовой актив-ности а2 радия Ra226.

320. Найти массу m1 урана U238, имеющего такую же активность А, как стронций Sr90 массой m2 = 1 мг.

321. Определить массу m2 радона Rn222, находящегося в радиоактивном равновесии с радием Ra226 массой m1=1 г.

322. Уран U234 является продуктом распада наиболее распространенного изотопа урана U238. Определить период полураспада T1/2 урана U234 , если его массовая доля w в естественном уране U238 равна 6×10-5.

323. Точечный изотропный радиоактивный источник создает на расстоянии r=1 м интенсивность I g-излучения, равную 1,6 мВт/м2. Принимая, что при каждом акте распада ядра излучается один g-фотон с энергией e =1,33 МэВ, определить активность А источника.

324. Определить интенсивность I гамма-излучения на расстоянии r=5 см от точечного изотропного радиоактивного источника имеющего активность А=148 ГБк. Считать, что при каждом акте распада излучается, в среднем, n= 1,8 g -фотонов с энергией e = 0,51 МэВ каждый.

325. Определить возраст древних деревянных предметов, если известно, что удельная активность изотопа C14 у них составляет 3/5 удельной активности этого же изотопа в только что срубленных деревьях. Период полураспада ядер C14 равен 5570 лет.

326. Радиоактивный изотоп Na22 излучает g -кванты энергии e = 1,28 МэВ. Определить мощность Р гамма-излучения и энергию W, излучаемую за время t=5 мин изотопом натрия массой m =5 г. Считать, что при каждом акте распада излучается один g - фотон с указанной энергией.

327. Определить дефект массы Dm и энергию связи Eсв ядра атома тяжёлого водорода.

328. Определить энергию Eсв, которая освободится при соединении одного протона и двух нейтронов в атомное ядро.

329. Определить удельную энергию связи Eуд ядра .

330. Энергия связи Есв ядра , состоящего из двух протонов и одного нейтрона, равна 7,72 МэВ. Определить массу ma нейтрального атома, имеющего это ядро.

331. Определить массу ma нейтрального атома, если ядро этого атома состоит из трёх протонов и двух нейтронов и энергия связи Есв ядра 26,3 МэВ.

332. Атомное ядро, поглотившее g-фотон (e = 0,47 пм), пришло в возбуж-дённое состояние и распалось на отдельные нуклоны, разлетевшиеся в разные стороны. Суммарная кинетическая энергия Т нуклонов равна 0,4 МэВ . Определить энергию связи Есв ядра.

333. Какую наименьшую энергию Есв нужно затратить , чтобы разделить на отдельные нуклоны ядра  и ? Почему для ядра бериллия эта энергия меньше, чем для ядра лития?

334. Определить энергию связи Есв , которая выделится при образовании из протонов и нейтронов ядер гелия  массой m = 1 г.

335. Фотон с энергией e =3 МэВ, в поле тяжёлого ядра превратился в пару электрон - позитрон. Принимая, что кинетическая энергия частиц одинакова, определить кинетическую энергию Т каждой частицы.

336. Пренебрегая кинетическими энергиями ядер дейтерия и принимая их суммарный импульс равным нулю, определить кинетические энергии Т1 и Т2 и импульсы p1 и p2 продуктов реакции

.

337. При делении одного ядра урана-235 выделяется энергия Q = 200 МэВ. Какую долю энергии покоя ядра урана-235 составляет выделившаяся энергия?

338. Определить энергию Е , которая освободится при делении всех ядер, содержащихся в уране-235 массой m =1 г.

339. Найти отношение скорости v2 нейтрона после столкновения его с ядром углерода С12 к начальной скорости v1 нейтрона. Найти такое же отношение кинетических энергий нейтрона. Считать ядро углерода до столкновения покоящимся, столкновение прямым, центральным, упругим.

340. Ядро урана , захватив один нейтрон, разделилось на два осколка, причём освободилось два нейтрона. Одним из осколков оказалось ядро ксенона . Определить порядковый номер Z и массовое число А второго осколка.

341. Определить массовый расход m1 ядерного горючего U235 в ядерном реакторе атомной электростанции. Тепловая мощность Р электростанции равна 10 МВт. Принять энергию Q, выделяющуюся при одном акте деления, равной 200 МэВ. К.п.д. электростанции составляет 20%.

342. Найти электрическую мощность Р атомной электростанции, расхо-дующей 0,1 кг урана - 235 в сутки, если к.п.д. станции равен 16%.

343. При соударении g-фотона с дейтоном последний может расщепиться на два нуклона. Написать уравнение ядерной реакции и определить минимальную энергию g-фотона, способного вызывать такое расщепление.

344. Неподвижное ядро кремния  выбросило отрицательно заряженную b-частицу с кинетической энергией Т = 0,5 МэВ. Пренебрегая кинетической энергией ядра отдачи, определить кинетическую энергию Т1 антинейтрино.

345. Определить скорости продуктов реакции B10 (p, n) Li7, протекающей в результате взаимодействия тепловых нейтронов с покоящимися ядрами бора.

346. Свободный нейтрон радиоактивен. Выбрасывая электрон и антинейтрино, он превращается в протон. Определить суммарную кинетическую энергию Т всех частиц, возникающих в процессе превращения нейтрона. Принять, что кинетическая энергия нейтрона равна нулю и что масса покоя антинейтрино пренебрежимо мала.

347. Покоившееся ядро полония  выбросило a-частицу с кинетической энергией Т = 5,3 МэВ. Определить кинетическую энергию Т ядра отдачи и полную энергию Q, выделившуюся при a-распаде.

348. Нейтральный p-мезон (po), распадаясь, превращается в два одинаковых g- фотона. Определить энергию e фотона. Кинетической энергией и импульсом мезона пренебречь.

349. Электрон и позитрон, имевшие одинаковые кинетические энергии, равные 0,24 МэВ, при соударении превратились в два одинаковых фотона. Определить энергию e фотона и соответствующую ему длину волны l.

350. Найти энергию Q ядерной реакции N (n, p)С14, если энергия связи Eсв ядра N14 равна 104,66 МэВ, а ядра С14 - 105,29 МэВ.

351. Определить теплоту Q, необходимую для нагревания кристалла калия массой m = 200 г от температуры T1 = 4 K до температуры T2 = 5 K. Принять характеристическую температуру Дебая для калия qD = 100 K и считать условие T < qD выполненным.

352. Вычислить по классической теории теплоёмкости теплоёмкость C бромида алюминия AlBr3 объёмом V = 1 м3. Плотность r кристалла бромида алюминия равна 3,01×103 кг/м3.

353. Определить энергию U системы, состоящей из N=1025 квантовых трёх-мерных независимых осцилляторов, при температуре T=qE (qE=300 K).

354. Медный образец массой m = 100 г находится при температуре T1= 10 K. Определить теплоту Q, необходимую для нагревания образца до температуры T2 = 20 K. Характеристическую температуру Дебая для меди принять равной 300 K, а условие T < qD считать выполненным.

355. Зная, что для алмаза qD = 2000 K, вычислить его удельную теплоёмкость при температуре T = 30 K.

356. Используя квантовую теорию теплоёмкости Эйнштейна, определить коэффициент упругости b связи атома в кристалле алюминия. Принять для алюминия qE = 300 K.

357. Вычислить по теории Эйнштейна молярную нулевую энергию Umo кристалла цинка. Характеристическая температура qE для цинка равна 230 K.

358. Вычислить молярную внутреннюю энергию Um кристаллов с двумерной решёткой, если характеристическая температура Дебая равна 350 K.

359. Найти отношение средней энергии <eкв> линейного одномерного осциллятора, вычисленной по квантовой теории, к энергии <eкл> такого же осциллятора, вычисленной для двух температур:1) T = 0,1qE; 2) T = qE.

360. Найти отношение изменения DU внутренней энергии кристалла при нагревании его от нуля до T = 0,1 qD к нулевой энергии Uom. Считать T < qD.

361. Определить относительную погрешность, которая будет допущена при вычислении теплоёмкости кристалла, если вместо значения, даваемого теорией Дебая (при Т = qD), воспользоваться значением, даваемым законом Дюлонга-Пти.

362. Найти отношение DE/DD характеристических температур Эйнштейна и Дебая.

363. Найти энергию e фонона, соответствующего максимальной частоте w = 0,1 wmax Дебая, если характеристическая температура Дебая равна 250 K.

364. Молярная теплоёмкость серебра при температуре T = 20 K оказалась равной 1,65 Дж/(моль×K). Вычислить по значению теплоёмкости харак-теристическую температуру qD. Условие T < qD считать выполненным.

365. Определить квазиимпульс p фонона, соответствующего частоте w = 0,1wmax. Усреднённая скорость v звука в кристалле равна 1380 м/с, характеристическая температура Дебая равна 100 K. Дисперсией звуковых волн в кристалле пренебречь.

366. Определить усреднённую скорость звука в кристалле, характеристическая температура которого равна 300 K. Межатомное расстояние в кристалле равно 0,25 нм.

367. Длина волны l фонона, соответствующего частоте w = 0,01wmax, равна 52 нм. Пренебрегая дисперсией звуковых волн, определить характеристическую температуру qD Дебая, если усреднённая скорость звука в кристалле равна 4,8 км/с.

368. Вычислить молярную нулевую энергию Umo кристалла с одномерной решёткой, если характеристическая температура qD Дебая равна 300 K.

369. Пользуясь теорией теплоёмкости Эйнштейна, определить изменение DUm молярной внутренней энергии кристалла при нагревании его от нуля до T1 = 0,1 qE. Характеристическую температуру qE Эйнштейна принять равной 300 K.

370. Вычислить энергию нулевых колебаний, приходящуюся на один грамм меди, дебаевская температура которой qD = 330 K.

371. Определить максимальную частоту wmax собственных колебаний в кристалле золота по теории Дебая. Характеристическая температура qD равна 180 K.

372. Характеристическая температура qD Дебая для вольфрама равна 310 K. Определить длину волны l фононов, соответствующих частоте w = 0,1wmax. Усреднённую скорость звука в вольфраме вычислить. Дисперсией волн в кристалле пренебречь.

373. Вычислить максимальную частоту wmax Дебая для серебра, если известно, что молярная теплоёмкость Cm при T = 20 K равна 1,7 Дж/(моль×К).

374. Во сколько раз изменится средняя энергия <e> квантового осциллятора, приходящаяся на одну степень свободы, при повышении температуры от T1 = qE/2 до T2 = qE? Учесть нулевую энергию.

375. Определить отношение  средней энергии квантового осциллятора к средней энергии теплового движения молекул идеального газа при температуре T = qE.

376. Определить долю свободных электронов в металле при T=0 K, энергии e которых заключены в интервале значений от 0,5emax до emax.

377. Германиевый кристалл, ширина DE запрещённой зоны в котором равна 0,72 эВ, нагревают от температуры t1= 0oС до температуры t2 = 10oC. Во сколько раз возрастёт его удельная проводимость?

378. При нагревании кремниевого кристалла от температуры t1= 0oC до температуры t2 = 10oC его удельная проводимость возрастает в 2,28 раза. По приведённым данным определить ширину DE запрещённой зоны кристалла кремния.

379. Сопротивление R1 кристалла PbS при температуре t1 = 20oC равно 104 Ом. Определить его сопротивление R2 при температуре t2 равной 80oC.

380. Прямое напряжение U, приложенное к p-n переходу, равно 2 В. Во сколько раз возрастёт сила тока через переход, если изменить температуру от T1 = 300 K до T2 = 273 K?

381. Металл находится при температуре 0 K. Определить относительное число электронов, энергия которых отличается от энергии Ферми не более чем на 2%.

382. Вычислить среднюю кинетическую энергию электронов в металле при температуре T = 0 K, если уровень Ферми ef = 7 эВ.

383. Определить вероятность того, что электрон в металле займёт энергетическое состояние, находящееся в интервале De =0,05 эВ ниже уровня Ферми и выше уровня Ферми для температуры 250 K.

384. Металл находится при температуре T = 0 K. Определить во сколько раз число электронов со скоростями от 0,5vmax до vmax больше числа электронов со скоростями от 0 до 0,5vmax.

385. Определить число свободных электронов, которое приходится на один атом натрия при температуре T = 0 K. Уровень Ферми ef для натрия равен 3,12 эВ. Плотность r натрия равна 970 кг/м3.

386. Оценить температуру вырождения для калия, если принять, что на каждый атом приходится по одному свободному электрону. Плотность r калия равна 860 кг/м3.

387. Определить максимальную скорость электронов в металле при T = 0 K, если уровень Ферми ef = 5 эВ.

388. Вычислить среднюю скорость электронов для металла, уровень Ферми которого при T = 0 K равен 6 эВ.

389. Определить отношение концентраций n1/n2 свободных электронов при T = 0 K в литии и цезии, если известно, что уровни Ферми в этих металлах соответственно равны ef,1 = 4,72 эВ, ef,2= 1,53 эВ.

390. Определить концентрацию свободных электронов в металле при температуре T = 0 K. Энергию Ферми принять равной 1 эВ.

391. Металлы литий и цинк приводят в соприкосновение друг с другом при температуре T = 0 K. На сколько изменится концентрация электронов проводимости в цинке? Какой из этих металлов будет иметь более высокий потенциал?

392. Каково значение энергии Ферми у электронов проводимости двухвалентной меди?

393. Германиевый образец нагревают от 0 до 17oC. Принимая ширину запрещённой зоны германия DE = 0,72 эВ, определить, во сколько раз возрастёт его удельная проводимость.

394. Найти минимальную энергию, необходимую для образования пары электрон-дырка в кристалле CaAs, если его удельная проводимость изменяется в 10 раз при изменении температуры от 20 до 3oC.

395. P-n переход находится под обратным напряжением U = 0,1 В. Его сопротивление R1 = 692 Ом. Каково сопротивление R2 перехода при прямом напряжении?

396. Сопротивление R1 p-n перехода, находящегося под прямым напряжением U = 1 В, равно 10 Ом. определить сопротивление R2 перехода при обратном напряжении.

397. Определить угловую скорость вращения молекулы S2, находящейся на первом возбуждённом вращательном уровне, если расстояние между её ядрами d = 180 пм.

398. Найти механический момент молекулы кислорода, вращательная энергия которой E = 2,16 МэВ, а расстояние между ядрами d = 121 пм.

399. Вычислить длины волн красного и фиолетового спутников, ближайших к несмещённой линии, в колебательном спектре комбинационного рассеяния молекул F2, если длина волны падающего света l = 404,7 нм и собственная частота колебаний молекулы w-= 2,15×1014 рад/с.

400. Вычислить дебаевскую температуру для железа, у которого скорости распространения продольных и поперечных колебаний равны соответственно 5,85 и 3,23 км/с.