Физика задачи. Механика

Лекции
Физика

Контрольная

На главную
Электротехника

Пример1. Колесо вращается с постоянным угловым ускорением

Пример 3. Через неподвижный блок массой  перекинут шнур, к концам которого подвешены грузы массами  и .

Пример 4. На краю горизонтальной платформы, имеющей форму диска радиусом , стоит человек. Масса платформы , масса человека . Платформа может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр. Пренебрегая трением, найти, с какой угловой скоростью будет вращаться платформа, если человек будет идти вдоль ее края со скоростью   относительно платформы.

Пример 6. На концах стержня массой 1 кг и длиной 40 см укреплены одинаковые грузы массами 400 г по одному на каждом конце. Стержень с грузами колеблется около оси, проходящей через точку, удаленную на 10 см от одного из концов стержня. Определить период колебаний стержня.

Законы и формулы к выполнению задач по теме №1

Кинематика

Поступательное движение

Уравнение движения материальной точки (или центра масс абсолютно твердого тела), движущейся равномерно вдоль оси x: , (1.1)

движущейся равноускоренно вдоль оси x: . (1.2)

Для прямолинейного движения разность между конечной (x) и начальной (x0) координатами тела равна пройденному пути S.

Закон изменения скорости при равноускоренном движении:

. (1.3)

Здесь  и   – скорость тела в начальный момент времени и в момент времени t соответственно, a – линейное ускорение.

Средняя путевая скорость:

, (1.4)

где ΔS – величина пути, пройденного телом за интервал времени Δt.

Тангенциальное ускорение:

. (1.5)

Нормальное ускорение:

, (1.6)

где R – радиус кривизны траектории.

Полное ускорение:

. (1.7)

Вращательное движение

Уравнение движения материальной точки (или центра масс абсолютно твердого тела), движущейся равноускоренно по окружности радиуса R:

. (1.8)

Закон изменения скорости при равноускоренном движении:

. (1.9)

Здесь Δφ – угол поворота тела за время t, ω0 и ω – угловые скорости тела в начальный момент времени и в момент времени t соответственно, ε – угловое ускорение.

Угловая скорость ω связана:

с линейной скоростью , (1.10)

с линейной частотой ν: , (1.11)

с периодом колебаний Т: . (1.12)

Угловое ускорение ε связано с тангенциальной составляющей линейного ускорения aτ соотношением

. (1.13)

Угловая скорость ω связана с нормальной составляющей линейного ускорения an соотношением

. (1.14)

Динамика

Поступательное движение

Второй закон Ньютона:

. (1.15)

 – геометрическая сумма сил, действующих на тело, m – масса тела.

Третий закон Ньютона:

, (1.16)

где  – сила, действующая на первое тело со стороны второго, а  – сила, действующая на второе тело со стороны первого.

Силы в механике:

сила упругости , где x – величина упругой деформации тела, k – коэффициент упругости;

сила тяжести , где  – ускорение свободного падения;

сила трения (скольжения) , где μ – коэффициент трения,

N – сила нормального давления (сила реакции опоры).

Импульс материальной точки (твердого тела) массой m:

. (1.17)

Закон сохранения импульса изолированной системы тел:

. (1.18)

Кинетическая энергия тела:

. (1.19)

Потенциальная энергия:

упругодеформированной пружины , (1.20)

где k – жесткость пружины, x – величина деформации;

тела, находящегося в однородном поле силы тяжести , (1.21)

где h – высота тела над уровнем, принятым за нулевой (имеется при этом в виду, что h<<R, где R – радиус Земли).

Закон сохранения механической энергии:

, (1.22)

где E – полная энергия изолированной системы.

Работа постоянной силы:

, (1.23)

где S – перемещение тела под действием силы F, α – угол между направлением силы и направлением перемещения.

Связь работы сил, действующих на тело, и кинетической энергии тела:

, (1.24)

где ΔE – изменение полной энергии системы под действием внешних сил.

Вращательное движение

Модуль момента силы относительно неподвижной точки О:

, (1.25)

где r – модуль радиус-вектора, проведенного из точки О, через которую проходит ось вращения в точку приложения силы F; α – угол между радиус-вектором и вектором силы. Направление вектора момента силы совпадает с направлением поступательного движения правового винта при его вращении от  к .

Основной закон динамики вращательного движения:

, (1.26)

где J – момент инерции тела относительно оси вращения,  – угловое ускорение.

Момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс для:

полого цилиндра (обруча) радиусом R ; (1.27)

сплошного цилиндра (диска) радиусом R ; (1.28)

прямого тонкого стержня длиной l ; (1.29)

шара радиусом R . (1.30)

Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси:

, (1.31)

где ω – угловая скорость.

Кинетическая энергия катящегося тела:

. (1.32)

Примеры решения задач по теме №1

Пример 1.1. Самолет движется со скоростью 18 км/ч. С некоторого момента он начинает двигаться с ускорением a в течение 10 с, а последние 110 м проходит за одну секунду. Определить ускорение и конечную скорость самолета.

Дано: =18 км/ч=5м/с,

t1=10 с,

t2=1 с,

S2=110 м.

Найти: a,

Решение


Весь путь, проделанный самолетом, делится на два S1 и S2 (рис.1).

Рис. 1.

Запишем для двух этих участков уравнения движения:

; (1.1.1)

 (1.1.2)

и законы изменения скорости:

; (1.1.3)

. (1.1.4)

Подставим (1.1.3) в (1.1.2):

. (1.1.5)

Выразим a:

. (1.1.6)

Подставим в (1.1.6) числовые данные:

.

Теперь подставим (1.1.3) в (1.1.4) и вычислим конечную скорость:

.

Ответ: ускорение самолета a=10м/с2, конечная скорость самолета =115м/с.

Пример 1.2. Колесо вращается с частотой 180об/мин. С некоторого момента колесо начинает вращаться равнозамедленно с угловым ускорением 3 рад/с2. Через какое время колесо остановится? Найти число оборотов колеса до остановки.

Дано: ν = 180об/мин=3об/с,

ε = 3 рад/с2.

Найти: t, n.

Решение

Запишем уравнение движения тела, совершающего равноускоренное, вращательное движение:

 (1.2.1)

и закон изменения скорости

. (1.2.2)

Здесь Δφ – угол поворота тела за время t, ω0 и ω – угловая скорость тела в начальный момент времени и в момент времени t соответственно, ε – угловое ускорение.

Угол поворота Δφ связан с числом оборотов n соотношением:

. (1.2.3)

Начальную угловую скорость ω0 найдем из соотношения:

. (1.2.4)

С учетом (1.2.3) и (1.2.4), а также с учетом того, что колесо движется равнозамедленно, перепишем (1.2.1):

. (1.2.5)

Из уравнения (1.2.2) найдем время до остановки колеса, т.е. время, когда угловая скорость ω стала равна нулю:

. (1.2.6)

Рассчитаем время t:

.

Теперь подставим (1.2.6) в (1.2.5):

. (1.2.7)

Выразим из (1.2.7) число оборотов n и подставим числовые данные:

.

Ответ: колесо остановится через 6,28 с; число оборотов n=9,4 оборота.

Пример 1.3. Шар массой 2 кг, движущийся горизонтально со скоростью =4 м/с, столкнулся с неподвижным шаром массой 3 кг. Считая удар центральным и абсолютно неупругим, найти количество теплоты, выделившееся при ударе.

Дано: m1 = 2 кг,

m2 = 3 кг,

 = 4 м/с,

 = 0 м/с.

Найти: Q.

Решение

Запишем закон сохранения импульса:

. (1.3.1)

Здесь  и   – скорости первого и второго шаров до удара соответственно, u1 и u2 – скорости первого и второго шаров после удара соответственно. После неупругого столкновения тела движутся с одинаковой скоростью, поэтому  u1 = u2 = u. Запишем проекцию уравнения (1.3.1) на направление движения шаров с учетом того, что =0 м/с:

. (1.3.2)

При неупругом ударе закон сохранения энергии не выполняется. Разность между энергией системы до удара (ЕК1) и энергией после удара (ЕК2) равна количеству теплоты, выделившемуся при ударе:

. (1.3.3)

Кинетическая энергия системы до удара:

. (1.3.4)

Кинетическая энергия системы после удара:

. (1.3.5)

Выразим из (1.3.2) u и подставим в (1.3.5):

. (1.3.6)

С учетом (1.3.4) и (1.3.6) вычислим количество теплоты Q:

.

Ответ: количество теплоты, выделившееся при ударе Q=9,6 Дж.

Пример 1.4. На барабан радиусом 0,5 м намотан шнур, к концу которого привязан груз массой 12 кг. Найти момент инерции барабана, если груз опускается с ускорением 1,81 м/с2. Барабан считать однородным цилиндром. Трением пренебречь.

Дано: R=0,5м,

m=12 кг,

a=1,81 м/с2.


Найти: J.

Решение

Рис. 2

Запишем основной закон динамики вращательного движения:

. (1.4.1)

Здесь J – момент инерции цилиндра относительно оси вращения, проходящей через центр масс, ε – угловое ускорение (ускорение вращательного движения), M – момент силы, заставляющей барабан вращаться. Такой силой является сила натяжения шнура Т.

Модуль момента силы равен:

. (1.4.2)

Из рис. 2 видно, что α=900, поэтому:

. (1.4.3)

Угловое ускорение ε связано с линейным ускорением a соотношением:

, (1.4.4)

где R – радиус барабана.

С учетом (1.4.3) и (1.4.4) перепишем (1.4.1) в скалярном виде (вектор М и вектор ε направлены в одну сторону):

. (1.4.5)

Выразим из (1.4.5) J:

. (1.4.6)

Силу натяжения шнура Т найдем из второго закона Ньютона, записанного для поступательно движущегося груза (рис. 2):

. (1.4.7)

Сила натяжения шнура, вращающая барабан и сила, действующая на груз, равны по модулю и направлены в противоположные стороны. Проекция уравнения (1.4.7) на ось OY имеет вид:

. (1.4.8)

Выразим из (1.4.8) Т и подставим полученное выражение в (1.4.6):

. (1.4.9)

Проверим размерность:

.

Подставим в (1.4.9) числовые данные:

.

Ответ: момент инерции барабана J=12 м2кг.

Ядерные реакторы

Сети